|
Berilgan tenglamaning ildizlari ajratilgan bo’lsin. Iteratsiya metodini qo’llash uchun tenglama unga teng kuchli bo’lgan quyidagi
kanonik shaklga keltirilgan va ildizlari ajratilgan bo’lishi kerak. tenglamaning ildizi yotgan atrofning biror nuqtasini izlanayotgan ildizning nolinchi yaqinlashishi deb olamiz. Navbatdagi yaqinlashishini topish uchun ning o’ng tomoniga ni qo’yamiz va hosil bo’lgan qiymatini bilan belgilaymiz, ya’ni
Topilgan sonni ning o’ng tomoniga qo’yib, yangi son ni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, - yaqinlashish ni - yaqinlashish yordamida topamiz:
Bu formula yordamida topilgan sonlar ketma-ketgilining limiti ya’ni
mavjud va funksiya uzluksiz bo’lsa, tenglikning ikkala tomonida limitga o’tib, , ya’ni ga ega bo’lamiz. Bu tenglikdan ko’rinadiki, berilgan tenglamaning ildizi ekan. Demak, bu ildizni formula yordamida istalgan aniqlik bilan hisoblash mumkin, limit mavjud bo’lgan holda iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi deyiladi. Lekin, mavjud bo’lmasligi ham mumkin, bunday holda oddiy iteratsiya usuli maqsadga muvofiq bo’lmaydi.
Iteratsiya metodi sodda geometrik ma’noga ega. Buni tushunish uchu va funksiyalarning grafiklarini chizamiz. Bu grafiklarning kesishgan nuqtasining absissasi tenglamaning ildizidir.
2.1-chizma
Faraz qilaylik, nolinchi yaqinlishish bo’lsin, u vaqtda nuqta egri chiziqda yotadi. Bu nuqtadan gorizontal ( o’qiga parallel) chiziq o’tkazamiz. Bu chiziq bissektrisani nuqtada kesadi. ni bilan belgilab olsak, nuqtaning koordinatalari ko’rinishga ega bo’ladi. nuqta orqali o’qqa parallel to’g’ri chiziq o’tkazsak, u egri chiziqni nuqtada kesadi. Bu jarayonni davom ettirib, bissektrisada yotgan (bu yerda ) so’ng egri chiziq ustida nuqtaga ega bo’lamiz va h.k.
2.2-chizma
Agar iteratsiya jarayoni yaqinlashsa, u vaqtda nuqtalar izlanayotgan nuqtaga yaqinlashadi. nuqtalarning absissalari ga, ya’ni tenglamaning ildiziga yaqinlashadi.
Shunday qilib, iteratsiya metodining geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: egri chiziq bilan koordinatalar burchagi bissektrisaning kesishish nuqtasiga siniq chiziq bo’ylab harakat qilamiz, siniq chiziqning uchlari navbat bilan egri chiziq va bissektrisa ustida yotadi, tomonlari esa navbat bilan gorizontal va vertikal yo’nalgan bo’ladi. Agar egri chiziq va bissektrisa 2.1-chizmadagidek joylashgan bo’lsa, u vaqtda siniq chiziq zinapoyani eslatadi. Agar egri chiziq va bissektrisa 2.2- chizmadagidek bo’lsa, unda siniq chiziq spiralni eslatadi.
2.3-chizma
Iteratsion jarayon uzoqlashishi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi shundan iboratki, zinapoyaning pog’onalari (yoki spiralning bo’g’inlari) borgan sari kattalashadi, shuning uchun ham, nuqtalar ga yaqinlashmaydi, balki uzoqlashadi (2.3-2.4-chizmalar).
Modomiki, iteratsiya jarayoni har doim yaqinlashavermas ekan, demak bu jarayon yaqinlashishi uchun qanday shartlar bajarilishi kerakligini aniqlash katta ahamiyatga ega. Bu shartlar ushbu teoremada ko’rsatiladi.
|
