Misol. Grafik usuli bilan tenglamaning ildizi taqribiy topilsin.
Yechish. Bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz. egri chiziqning va to’g’ri chiziqning grafiklarini chizib 1.2-chizmadan ko’ramizki, ularning kesishish nuqtasining abssissasi ekan.
1.2-chizma
Agar yoki chiziqli funksiya, masalan bo’lsa, u vaqtda tenglamachining ildizlarini ajratish soddalashadi. Faqat va koeffisentlari bilan farq qiladigan bir xil tipdagi bir nechta tenglamalarning ildizlarini ajratish uchun grafik usuli qulaydir. Chunki bu yerda ildizlarni ajratish (ildizlarni taqribiy topish) bitta tayin funksiya grafigi bilan har xil to’g’ri chiziqlar kesishish nuqtalarining abssissalarini topishdan iboratdir. Bu tipga ko’rinishdagi tenglamalar misol bo’la oladi.
Masalan, va tenglamalar ildizlarining taqribiy qiymatlari topilsin. Buni yechish uchun kubik parabolani chizamiz. So’ngra va to’g’ri chiziqlarning parabola bilan kesishish nuqtalarining abssissalarini topamiz. 1.3-chizmada ko’rinib turibdiki, birinchi tenglama fakat bitta haqiqiy ildizga ega bo’lib, ikkinchi tenglama esa uchta ; ; haqiqiy ildizlarga egadir. Agar tenglamaning kompleks ildizlarini topish kerak bo’lsa, deb olib, bu tenglamani ko’rinishda yozib olamiz, bu yerda va haqiqiy va o’zgaruvchilarning haqiqiy funksiyalari. Bu tenglama esa quyidagi ikkita tenglamalar , sistemasiga teng kuchlidir. Endi , egri chiziqlarni chizib, ularning kesishgan nuqtalarini topamiz. Kesishish nuqtalarining absissasi va ordinatalari tenglama yechimlarining mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini beradi.
1.3-chizma
1.2 Algebraik tenglamalarning haqiqiy ildizlari mavjudlik shartlari
Abgebraik
tenglamaning ildizlarini ajratish masalasi yaxshi o’rganilgan va ancha osondir. Quyidagi teoremalarning birinchisi boshqalariga nisbatan umumiyroqdir, chunki u kompleks ildizlarining ham chegaralarini beradi. Biz har doim tenglamada koeffitsentlar haqiqiy va , deb olamiz.
1-teorema. Agar , bo’lsa, u holda tenglamaning barcha ildizlari halqa ichida yotadi. (1.4- chizma)
Isbot. Faraz qilaylik, bo’lsin. Modulning xossalariga ko’ra
Agar biz bu yerda deb olsak, u holda tengsizlik kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, ning bu qiymatlarida ko’phad nolga aylanmaydi, ya’ni tenglama ildizga ega bo’lmaydi. Shu bilan teoremaning yarmi isbot bo’ldi.
1.4-chizma
Teoremaning ikkinchi yarmini isbotlash uchun deb olib, ga ega bo’lamiz, bu yerda .Teoremaning isbot qilingan qismiga ko’ra ko’phadning ildizlari (nollari). Tengsizlikni qanoatlantiradi, bundan esa kelib chiqadi.
E s l a t m a: Bu teoremadagi va sonlar tenglama musbat ildizlarning quyi va yuqori chegaralari bo’ladi. Shunga o’xshash - va - sonlar manfiy ildizlarning mos ravishda quyi va yuqori chegarasi bo’ladi. Ildizlarning chegaralari uchun bu teoremadagi baho ancha qo’poldir. Quyidagi teoremalar bunga nisbattan ancha yaxshiroq baholarni beradi.
|
