| 2-teorema. (Lagranj teoremasi). Agar tenglamaning manfiy koeffisentlaridan eng birinchisi (chapdan o’ng tomon hisoblaganda) bo’lib, manfiy koeffitsentlarning absolyut qiymatlari bo’yicha eng kattasi bo’lsa, u holda musbat ildizlarning yuqori chegarasi
son bilan ifodalanadi.
Isbot. Bu yerda ham deb olamiz. Agar ko’phadda manfiy bo’lmagan barcha , , koefisentlarini esa - manfiy son bilan almashtirsak, ko’phadning qiymati faqat kamayishi mumkin, shuning uchun ham tengsizlika ega bo’lamiz. Bundan esa bo’lganda
kelib chiqadi. Demak, bo’lganda ga ega bo’lamiz, ya’ni tenglamaning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantirar ekan.
3-teorema. (Nyuton teoremasi). Agar uchun ko’phad va uning barcha , , ..., xosilalari nomanfiy bo’lsa: , u holda ni tenglamaning musbat ildizlari uchun yuqori chegara deb hisoblash mumkin.
Isbot. Teylor formulasiga ko’ra teorema shartiga ko’ra bo’lganda bu tenglikning o’ng tomoni musbatdir. Demak, tenglamalarning barcha musbat ildizlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu teoremalar faqat musbat ildizlarning yuqori chegarasini aniqlaydi. Quyidagi:
,
,
ko’phadlarga yuqoridagi teoremalarni qo’llab, , , , musbat ildizlarning yuqori chegaralari , , va larni mos ravishda topgan bo’lsak, u vaqtda tenglamaning hamma musbat ildizlari va xamma manfiy ildizlari esa tengsizliklarni qanoatlantirar ekan.
Quyidagi misolda biz yuqorida keltirilgan metodlarni qo’llab ularning natijalarini solishtiramiz.
Misol. Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasi topilsin:
2-teoremani qo’llaymiz: bu yerda , . Demak, , ya’ni tenglamaning ildizlari oraliqda yotar ekan.
Endi Lagranj teoremasini qo’llaymiz: , , . Bu qiymatlarni formulaga qo’yib, musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ni hosil qilamiz. Keyin tenglamada ni ga almashtirsak,
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham tengsizlik kelib chiqadi. Ya’ni Lagranj teoremasiga ko’ra tenglamaning ildizlari oraliqda joylashgan ekan.
Nyuton metodini qo’llaylik, bu yerda: , , , , ko’rinib turibdiki uchun , , va . Osongina payqash mumkinki bo’lsa ham faqat musbat qiymat qabul qiladi, ya’ni musbat ildizlarining yuqori chegarasi ekan. Xuddi shuningdek, tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Demak, tenglamaning ildizlari oraliqda yotar ekan.
Har uchala metod natijalarini solishtirsak, Nyuton metodi garchi ko’proq mehnat talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko’rinadi.
Endi oliy algebradan ma’lum bo’lgan ikkita teoremani isbotsiz keltiramiz.
|
