Ayirish. Ayirish xossalari.
(To’plamlar nazariyasi nuqtai nazarida)
Ta’rif: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb n(A)=a, n(В)=b va В А shartlar bajarilganda В to’plamning A to’plamgacha to’ldiruvchi to’plamining elementlari soniga aytiladi:
а-b=n(А\В), bu erda а=n(А), b=n(В), В А
Ta’rif: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi deb shunday butun nomanfiy c songa aytiladiki, uning b son bilan yig’indisi a songa teng bo’ladi.
Shunday qilib, а-b=с  а=b+с
Ayirish amali qo’shishga teskari amal deb aytiladi. Ayirmaning ikkinchi ta’rifidan kelib chiqib, quyidagi teoremalarni keltiramiz:
Teorema: Butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi bа bo’lganda va faqat shunda mavjud bo’ladi.
Teorema: Agar butun nomanfiy a va b sonlarning ayirmasi mavjud bo’lsa, u holda u yagonadir.
(Ayirish amalining xossalari yuqoridagi mavzularda keltirilgan).
Ko’paytirish. Ko’paytirish xossalari.
Ta’rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning ko’paytmasi deb quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi butun nomanfiy ab songa aytiladi:
1. b >1 bo’lganda ab= a+a+...+a;
b ta qo’shiluvchi
2) b=1 bo’lganda a1= a;
3) b = 0 bo’lganda a 0 = 0.
Bu ta’rifning nazariy- to’plam jihatdan ma’nosi quyidagicha: Agar A1, A2, . . . , Ab to’plamlarning har biri a tadan elementga ega bo’lsa va ulardan hech bir ikkitasi kesishmasa, u holda ularning birlashmasi ab ta elementga ega bo’ladi. Demak, a b ko’paytma – bu har biri a tadan elementga ega bo’lgan, juft- jufti bilan kesishmaydigan b ta to’plamning kesishmasidagi elementlar sonidir.
а1 = a va a 0=0 tengliklar shartli qabul qilingan.
а va b sonlarning ko’paytmasini topishga yordam beradigan amal ko’paytirish amali deyiladi; ko’paytirilayotgan sonlar ko’paytuvchilar deb ataladi.
Shunday qilib, butun nomanfiy a va b sonlarning ko’paytmasini n(A) = a, n(В)= b bo’ladigan A va В to’plamlarning Dekart ko’paytmasi elementlari soni sifatida qarash mumkin:
аb= п (А х В), bunda п (А)= а, п (В)= b.
1.O’rin almashtirish qonuni: ixtiyoriy butun nomanfiy a va b sonlar uchun
a · b= b· a tenglik o’rinli.
2.Guruhlash qonuni: ixtiyoriy butun nomanfiy a, b, с sonlar uchun
(a· b) · с= a · (b · с) tenglik o’rinli.
Ko’paytirishning qo’shishga nisbatan taqsimot qonuni: Ixtiyoriy butun nomanfiy a, в, с sonlar uchun (a+в)·с=a·с+в·с tenglik o’rinli.
Bo’lish. “…marta katta”, “…marta kichik” munosabatlar.
Umumiy ko’rinishda butun nomanfiy a sonining natural b songa bo’linmasi quyidagicha ta’riflanadi:
Ta’rif: a=n(A) va A to’plam jufti-jufti bilan kesishmaydigan teng quvvatli qism to’plamlarga ajratilgan bo’lsin.
Agar b A to’plamni bo’lishdagi qism to’plamlar soni bo’lsa, u holda a va b sonlarning bo’linmasi deb har bir qism to’plamdagi elementlar soniga aytiladi.
Agar b A to’plamni bo’lishdagi har bir qism to’plam elementlari soni bo’lsa, u holda a va b sonlarning bo’linmasi deb bu bo’linmadagi qism to’plamlar soniga aytiladi.
a:b bo’linmani topishda foydalaniladigan amal bo’lish deb, a soni bo’linuvchi, b soni bo’luvchi deb ataladi.
Ta’rif: Butun nomanfiy a soni bilan b natural sonning bo’linmasi deb shunday butun nomanfiy c=-a:b songa aytiladiki, uning b son bilan ko’paytmasi a bo’ladi.
Teorema. Ikkita a va b natural sonning bo’linmasi mavjud bo’lishi uchun ba bo’lishi zarur.
Agar a va b natural sonlarning bo’linmasi mavjud bo’lsa, u yagonadir.
Qoldiqli bo’lish.
Ta’rif. Butun nomanfiy a sonni в natural songa qoldiqli bo’lish deb, a=bq+r va 0
Teorema: Ixtiyoriy butun nomanfiy a soni va b natural son uchun a=b·q+r, bunda 0
Qoldiqli bo’lishning nazariy to’plam ma’nosi qanday ekanini aniqlaymiz.
а=n(A) va A to’plam А1, А2…Аq , X to’plamlarga ajratilgan bo’lib, bunda А1, А2…Аq , to’plamlar teng quvvatli va b tadan elementni olgan, X to’plam esa А1, А2…Аq to’plamlarning har biridagi elementlaridan kam elementlarga ega bo’lsin Masalan, n(X)=r. U holda a=bq+r bo’ladi, bunda 0
9:2=4(1 qoldiq).
Agar bo’lishda qoldiq qolsa, u holda qoldiq bo’luvchidan har doim kichik bo’lishi ta’kidlab o’tiladi.
Natural sonning ma’nosi va sonlar-kattaliklarni o’lchash natijalari ustida amallar ma’nosi.
а va в kesmalar berilgan bo’lsin. Bu kesmalarga teng kesmalarni boshi 0 nuqtada bo’lgan biror nurga qo’yamiz. OA=a va OВ=b kesmalarni hosil qilamiz. Uchta hol bo’lishi mumkin.
1. A va В nuqtalar ustma-ust tushadi. (1-rasm) U holda OA va OВ- bitta kesma, a va в kesmalar esa unga teng, demak, a=в.
2.В nuqta OA kesma ichida yotadi (2-rasm) U holda OВ kesma OA kesmadan kichik (yoki OA kesma OВ kesmadan katta) deyiladi va bunday yoziladi: OВOВ) yoki вв).
3. A nuqta OВ kesma ichida yotadi.(3-rasm) U holda OA kesma OВ kesmadan kichik deyiladi va bunday yoziladi:
OAa).
Kesmalar ustida turli amallar bajariladi.
Ta’rif: Agar a kesma а1,а2…..,аn kesmalarning birlashmasi bo’lib, kesmalarning birortasi ham ichki umumiy nuqtaga ega bo’lmasa(bir-biri bilan ustma-ust tushmasa) va bir kesma ikkinchi kesmaning oxiriga birin-ketin tutashsa, a kesma bu kesmalarning yigindisi deyiladi.
Bunday yoziladi: а=а1+а2+…..+аn .
Masalan, 4-rasmda tasvirlangan a kesmani а1,а2, а3,а4 kesmalarning yigindisi deyish mumkin.
Ta’rif: a va в kesmalarning a-в ayirmasi deb, shunday с kesmaga aytiladiki, uning uchun в+с=a tenglik o’rinli bo’ladi.
а va в kesmalarning ayirmasi bunday topiladi. а kesmaga teng AВ kesma yasaladi va unda в kesmaga teng AС kesma ajratiladi.
U holda СВ kesma a va в kesmalarning a-в ayirmasi bo’ladi.(5-rasm)
Ravshanki, a va в kesmalarning ayirmasi mavjud bo’lishi uchun в kesma a kesmadan kichik bo’lishi zarur va yetarlidir.
Kesmalar ustida amallar qator xossalarga ega. Ulardan ba’zilarini isbotsiz keltiramiz.
1. Har qanday a va в kesmalar uchun a+в=в+a tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
2. Har qanday a,в,с kesmalar uchun
(a+в)+с=a+(в+с)
tenglik o’rinli, ya’ni kesmalarni qo’shish guruhlash qonuniga buysunadi.
3. Har qanday a va в kesmalar uchun
a+в a.
4. Har qanday a,в va с kesmalar uchun a<в bo’lsa, u holda a+с<в+с bo’ladi.
So’ngra berilgan a kesma birlik e kesma bilan taqqoslanadi. Agar a kesma e birlik kesmaga teng n ta kesma yig’indisi bo’lsa, bunday yoziladi:
а=e+e+…..+e=ne
Shuni eslatib o’tish muhimki, har qanday natural son n uchun uzunligi shu son bilan ifodalanadigan kesma mavjud bo’ladi. Bunday kesma yasash uchun e uzunlik birligini birin-ketin n marta qo’shish yetarlidir.
1.Qo’shish. Masalan, 3 va 8 sonlari b va c kesmalar uzunliklarini e birlik yordamida o’lchash natijalari bo’lsin, ya’ni в=3e, с=8e. Ma’lumki 3+8=11. Ammo 11 soni qaysi kesma uzunligini o’lchash natijasi bo’ladi? Ravshanki, bu a=в+с kesma uzunligining qiymatidir.(7-rasm)
Mulohazani umumiy ko'rinishda yuritamiz. a kesma в va с kesmalar yig'indisi hamda в=me, с=ne bo’lsin, bunda m va n –natural sonlar. U holda в kesma m ta bo’lakka, с kesma n ta shunday bo’lakka bo’linadi, bu bo’laklarning har biri birlik kesma e ga teng. Shunday qilib, butun a kesma m+n ta shunday bo’lakka bo’linadi. Demak, a=(m+n)e.
Shunday qilib, m va n natural sonlar yigindisini uzunliklari m va n natural sonlar bilan ifodalanadigan в va с kesmalardan tuzilgan a kesma uzunligining qiymati sifatida qarash mumkin ekan.
|
