Natural son va nol tushunchasining nazariy to’plam ma’nosi.
A={a,b,c,d} to’plam elementlarini sanab biz A to’plamda to’rtta element bor deymiz, ya’ni bu to’plamning miqdoriy xarakteristikasiga ega bo’lamiz. Biroq buni hosil qilish uchun tartibiy natural sonlar “birinchi”, “ikkinchi”, “uchinchi”, “to’rtinchi” dan foydalandik. Boshqacha aytganda, biz natural qator kesmasi deb ataluvchi {1,2,3,4} to’plamdan foydalandik.
Ta’rif: Natural qatorning Na kesmasi deb, a natural sondan katta bo’lmagan natural sonlar to’plamiga aytiladi. Masalan: N4 kesma 1,2,3,4 natural sonlar to’plamining o’zidir.
Ta’rif: A to’plam elementlarini sanash deb, A to’plam bilan natural qatorning Na kesmasi orasida o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatishga aytiladi.
а soni deb A to’plamdagi elementlar soniga aytiladi va n(A) kabi yoziladi. Bu a soni yagona va u miqdoriy natural sondir.
“Mazkur to’plam nechta elementga ega?” degan savolga javob miqdoriy natural son bilan ifodalanadi; tartibiy son esa sanoqda u yoki bu predmet qaysi o’rinni egallashini ko’rsatadi va “Sanoqda berilgan predmet nechanchi o’rinda bo’ladi?” degan savolga javob beradi?
Nazariy to’plam nuqtai nazaridan miqdoriy natural songa chekli teng quvvatli to’plamlar sinfi mos keladi.
Har bir sinfga birgina va faqat birgina natural son mos keladi, har bir natural songa teng quvvatli chekli to’plamlarning birgina va faqat birgina sinfi mos keladi.
Ma’lumki, ekvivalentlikning har bir sinfi unga tegishli ixtiyoriy elementini bu sinfning vakilini berish bilan bir qiymati aniqlanadi. Demak, teng quvvatli to’plamning har bir sinfini uning vakilini ko’rsatish bilan berish mumkin. Masalan, to’rtburchakning uchlari to’plamini teng quvvatli bo’lgan va “to’rt” natural sonni aniqlovchi to’plamlar sinfini В= {a, b,c,d} to’plamni ko’rsatish bilan berishi mumkin. Demak В to’plam “to’rt” natural sonni aniqlaydi.
Umuman har bir chekli A to’plamga bitta va faqat bitta natural son a=n(A) mos keladi, biroq har bir a natural songa bir ekivivalentlik sinfining teng quvvatli turli to’plamlari mos keladi.
Shuning uchun “besh” soniga beshburchak tomonlari to’plami ham uning uchlari to’plami ham, “kitob” so’zidagi harflar to’plami ham mos keladi.
Nol soni ham nazariy to’plam talqiniga ega va u bo’sh to’plamga mos qo’yiladi: 0=n()
Qo’shish, qo’shish qonunlari, “teng”, kichik, “katta” munosabatlari.
Ta’rif. Butun nomanfiy a va b sonlarning yig’indisi deb, n (A)=a, n (В)=b bo’lib, kesishmaydigan A va В to’plamlar birlashmasidagi elementlar soniga aytiladi.
a+b =n (AUВ), bu erda n (A)=a , n (В)= b va А В=
Misol. Berilgan ta’rifdan foydalanib, 5+2=7 bo’lishini tushuntiramiz. 5-bu biror A to’plamning elementlari soni, 2-biror В to’plamning elementlari soni, bunda ularning kesishmasi bo’sh to’plam bo’lishi kerak. Masalan, A={x,u,z,t,r}, В= {a,b} to’plamlarni olamiz. Ularni birlashtiramiz: AUВ={x,u,z,t,r,a,b}. Sanash yo’li bilan n(AUВ)=7 ekanini aniqlaymiz. Demak 5+2=7.
Butun nomanfiy sonlar yig’indisi har doim mavjud va yagonadir. Boshqacha aytganda, biz qanday ikkita butun nomanfiy a va b sonlar olmaylik, ularning yigindisi – butun nomanfiy c sonini har doim topish mumkin, u berilgan a va b sonlar uchun yagona bo’ladi.
Qo’shish qonunlari.
a) a+b=b+a  - o’rin almashtirish (kommutativlik)
b) (a+b)+c=a+(b+c)  - guruhlash (assotsiativlik)
“Teng” va “kichik” munosabatlari.
Ta’rif: Agar a va b sonlar teng quvvatli to’plamlar bilan aniqlansa, u holda ular teng bo’ladi:
а=b А В, bu erda n(А)=а, n (В)=b
Agar A va В to’plamlar teng quvvatli bo’lmasa, u holda ular bilan aniqlanadigan sonlar turlicha bo’ladi.
Ta’rif: Agar A to’plam В to’plamning qism to’plamiga teng quvvatli bo’lsa va n(A)=a, n(В)=b bo’lsa, a son b sondan kichik deyiladi va a < b kabi yoziladi. Xuddi shu vaziyatda b son a sonidan katta deyiladi va b > a kabi yoziladi.
a < b А В, bu erda В1  В va В1  В , В1
|
