Buxoro davlat universiteti qosimov f. M. Qosimova m. M

Boshlang’ich sinflar uchun matematika darsliklarida turli kattaliklar va ular ustida amallar qaraladigan masalalar ko’p. Kattaliklarning qiymatlari bo’lgan natural sonlarni qo’shish va ayirishning ma’nosini aniqlash bunday masalalarni yechishda amallarni tanlashni asoslashga imkon beradi.

Masalan, quyidagi masalani qaraylik: Bog’dan 3 kg olcha va 4 kg olma terishdi. Hammasi bo’lib necha kg meva terishgan? Masala qo’shish amali bilan echiladi. Nima uchun?

Terilgan olchalar massasini a kesma ko’rinishida, terilgan olmalar massasini в kesma ko’rinishida tasvirlaymiz.(8-rasm) U holda terilgan hamma mevalar massasini AВ kesmadan va ВС kesmadan AС kesma yordamida tasvirlash mumkin. AС kesma uzunligining son qiymati AВ va ВС kesmalar son qiymatlarining yig’indisiga teng bo’lgani uchun terilgan mevalar massasini qo’shish amali bilan topamiz: 3+4=7(kg).

Matematikada sonlarning o’qilishi, yozilishi, ular ustida bajariladigan amallar tiliga sanoq sistemalari deb ataymiz.

Barcha sanoq sistemalari o’zining “Grammatik qurilishi” jihatidan pozitsion bo’lmagan (nepozitsion) va pozitsion sanoq sistemalariga bo’linadi.

Dastlab pozitsion bo’lmagan sanoq sistemalar to’g’risida fikr yuritaylik.

So’zimizni eng qadimgi sanoq sistemalardan biri- Misr sanoq sistemasidan boshlaymiz. U ehtimol bundan 5000 yil muqqaddam paydo bo’lgandir. Misr sanoq sistemasida son ishoralari qanday tasvir etilgan va ular yordamida qanday qilib sonlar yozilgan, shuni ko’rib o’taylik.

Misr sanoq sistemasida bir, o’n, yuz, ming, o’n ming, yuz ming, million sonlari uchun maxsus ishoralar (ierogliflar) bo’lgan.

Bular quyidagilardir.

Masalan, butun son 23145 ni qadimgi Misr sanoq sistemasida ifodalaylik:

Buni yozish uchun o’n minglikni ifodalovchi ikkita ieroglifni, so’ngra mingni ifodalovchi uchta ieroglifni yuzlikni ifodalovchi 1 ta ieroglif, o’nlikni ifodalovchi 4 ta, birni ifodalovchi 5 ta ieroglifni qator qilib yozganlar .

Bu ikki ko’rinishdagi sanoq sistemalardan shu narsani ko’rish mumkinki, har bir raqam qaysi o’rinda kelishidan qat’iy nazar doim bitta sonni ifodalaydi.

Pozitsion bo’lmagan sanoq sistemalaridan yana biri va hozir ham qo’llaniladigan sistema bu Rim sanoq sistemasidir.

Rim raqamlari bilan butun sonlarni yozish uchun quyidagi 7 ta asosiy sonlarning tasvirlarini esda saqlash kerak.

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Shu sonlar bilan 4000 gacha istalgan butun sonni yoza olamiz. Shu bilan birga, bir sonda bu raqamlardan ba’zilari (I, X, C, M) uch martagacha takrorlanishi mumkin. Sonlarni rim raqamlarida yozishda kichikroq raqam katta raqamning o’ng tomonida turishi mumkin. Bu holda kichik raqam katta raqamga qo’shiladi. Masalan, 283 soni rim raqamlarida CCLXXXIII Misolimizda yuzlikni ifodalovchi raqam 2 marta o’nlik va birlikni ifodalovchi raqamlar 3 martadan takrorlangan. Bu sanoq sistemasida kichik raqam katta raqamning chap tomoniga yozilishi mumkin. Bunday hollarda kichik raqamni katta raqamdan ayirish kerak bo’ladi. Masalan:XCIV=100-10+5-1=94 ni ifodalaydi. Bu sistemada ham nolni ifodalovchi ishora yuq. Masalan: 1809 ni MDCCCIX belgi ishlatish mumkin. Rim raqamlari yordamida katta raqamlarni ham yozish mumkin. Buning uchun ming sonini yozgan o’ng tomondan pastga lotin m harfi qo’yiladi.

Pozitsion bo’lmagan sanoq sistemasi shu bilan xarakterlanadiki, berilgan sistemada sonlarni belgilash uchun qabul qilingan belgilar to’plamining har bir belgisi sonning yozuvida bu belgining qanday joylashishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta va faqat bitta sonni ifodalaydi.

Birinchi pozitsion sanoq sistemalari qadimgi Vavilionda vujudga kelgan bo’lib, ular 60 lik sanoq sistemalaridir. Vavilionliklar asosan 2 ta ishora ( 1ni ifodalovchi  pona va o’nni bildiruvchi gorizontal  pona) yordamida sonlarni ifodalashgan.

Eng ko’p tarqalgan sanoq sistemasi bu 10 lik sanoq sistemasidir. Bu birinchi bo’lib Hindistonda asrda vujudga kelib , keyin arablar orqali Yevropaga tarqalgan. Hozirgi paytda ham jahonda 10 lik sanoq sistemasidan keng foydalanilyapti.

Bu sistemaning dastlabki sonlari ;

[ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9] lar

Bu to’plam o’nlik sanoq sistemasining “alfavit”idir.

Ta’rif: n natural sonning n=n_k10^k+n_k-110^k-1+…+n₁10+n₀ ko’rinishdagi yozuviga sonning 10 lik sanoq sistemasidagi yozuvi deb aytiladi. Bunda n_k, n_k-1, …n₀ , -lar manfiy bo’lmagan butun sonlar bo’lib, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 raqamlaridan birortasini ifodalovchi sonlardir.

Sonning unli sanoq sistemasidagi yozuvini qisqacha

n= n_k, n_k-1, …n₀ , deb yozadilar.

Masalan: 3749=3·10³+7·10²+4·10+9

Xuddi sonning o’nlik sanoq sistemasidagi yozuvi singari istalgan natural sonni q lik sanoq sistemasida quyidagi yig’indi shaklida ifodalash mumkin:

N=n_kq^k+n_k-1q^k-1+…+n₁q+n₀ (n_k0) , bunda

0 n_k q-1

0 n_k-1q-1

……………

n=n_kn_k-1…n_{0 (q)}

Masalan: n=475₍₈₎-bu son sakkizlik sanoq sistemasida berilgan.

Bir sanoq sistemasidan ikkinchi bir sanoq sistemasiga o’tish uchun oldin birinchi sanoq sistemasidan o’nlikka o’tib, undan esa izlangan sanoq sistemasiga o’tish mumkin va bir sanoq sistemasidan ikkinchi bir sanoq sistemasiga to’g’ridan-to’g’ri o’tish mumkin. Hozir quyida shu 2 masalani qarab chiqamiz:

1-masala: n sonining q lik sanoq sistemasidagi yozuvi

n=n_kn_k-1…n_{0 (q)}

bo’lsin. Bu sonning o’nlik sanoq sistemasidagi yozuvini toping.

Ta’rifga ko’ra n=n_kn_k-1…n_{0 (q)}=n_kq^k+n_k-1q^k-1+…+n₁q+n₀

Bu sonlar ustida amallarni bajarib, hosil qilgan son izlangan son bo’ladi.

Masalan: 1) n=362₍₇₎ sonni o’nlik sanoq sistemasidagi yozuvini toping. 362₍₇₎ = 3·7²+6·7+2=191. Demak, 362₍₇₎ =191

2-masala: Berilgan o’nli sanoq sistemasidagi sonni q lik sanoq sistemasidagi yozuvini topaylik,

n= n_kq^k+n_k-1q^k-1+…+n₁q+n₀ berilgan bo’lsin. Bu sonni quyidagicha yozish mumkin; N=q(n_kq^k-1+n_k-1q^k-2+…+n₁)+n₀ , bu erda 0n₀q

Bu yozuvdan ko’rinadiki, n₀-n sonini q soniga bo’lganda bo’lishdan chiqqan qoldiqdir. Xuddi shunday n₁ qoldiq topiladi va hokazo.

Natijada bu jarayon to bo’linma nolga teng bo’lguncha davom ettiriladi, so’ngra qoldiqlar qator qilib oxiridan yozib chiqilsa, hosil bo’luvchi son q lik sanoq sistemasida sonning yozuvi bo’ladi.

Masalan: 1) 46 sonining 2 lik sanoq sistemasidagi yozuvini toping.

Demak, 46=101110₍₂₎ natijani to’g’riligini tekshiramiz: 101110₍₂₎=1·2⁵+0·2⁴+1·2³+1·2²+1·2+0=46
O’nli va turli sanoq sistemalarida ko’p xonali sonlar ustida amallar.
273+3526 yig’indini qaraymiz. Qo’shiluvchilarni koeffitsientli uning darajalari yig’indisi ko’rinishida yozamiz.

273+3526=(210²+710+3)+(310³+510²+210+6)

Bu ifodada qavslarni ochib, qo’shiluvchilar o’rnini shunday almashtiramizki, birlar birlar oldida, o’nlar o’nlar oldida va hokazo bo’lsin va yana qavs ichiga olamiz. Bularning hammasini qo’shishning tegishli qonunlari asosida bajarish mumkin. Haqiqatdan, guruhlash qonuni ifodalarni qavssiz yozishga imkon beradi.

210²+710+3+310³+510²+210+6

O’rin almashtirish qonuniga ko’ra qo’shiluvchilar o’rnini almashtiramiz:

310³+ 210²+510²+710+210+3+6

Guruhlash qonuniga ko’ra guruhlaymiz:

310³+ (210²+510²)+(710+210)+(3+6).

1-qavsdan 10² ni, 2-sidan 10 ni qavsdan tashqariga chiqaramiz. Buni qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonunini qo’llab bajarish mumkin:

310³+(2+5) 10²+(7+2)10+(3+6).

Ko’rib turibmizki, 273 va 3562 sonlarini qo’shish tegishli xonalar raqamlari bilan tasvirlangan bir xonali sonlarni qo’shishga keltirildi. Bu yig’indini qo’shish jadvalidan topamiz:

310³+710²+910+9

Umuman, sonlarni “Ustun” qilib qo’shishning ma’lum qoidasi: sonlarni o’nli sanoq sistemasida yozishga, qo’shishning o’rin almashtirish va guruhlash qonunlariga, qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonunlariga, bir xonali sonlarning qo’shish jadvaliga asoslanadi.

O’nli sanoq sistemasida yozilgan ko’p xonali sonlarni qo’shish algoritmi umumiy ko’rinishda mana bunday ifodalanadi:

1.Ikkinchi qo’shiluvchini tegishli xonalar bir-birining ostiga tushadigan qilib birinchi qo’shiluvchining ostiga yozamiz.

2.Birlar xonasidagi raqamlar qo’shiladi. Agar yig’indi 10 dan kichik bo’lsa, uni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va keyingi xonaga (o’nlar xonasiga) o’tamiz.

3.Agar birlar raqamlarining yigindisi 10 dan katta yoki 10ga teng bo’lsa, uni 10+С₀ , bunda С₀ -bir xonali son, ko’rinishda yozamiz: С₀ ni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va birinchi qo’shiluvchidagi o’nlar raqamiga birni qo’shamiz, keyin o’nlar xonasiga o’tamiz.

4.O’nlar bilan yuqoridagidek amallarni bajaramiz, keyin yuzlar bilan va hokazo. Yuqori xona raqamlari qo’shilgandan keyin bu jarayonni to’xtatamiz.
O’nli sanoq sistemasida ko’p xonali sonlarni ayirish.

769-547 ayirmani qaraymiz. Berilgan sonlarni koeffitsiyentli o’nning darajalari yig’indisi ko’rinishida yozamiz:

769-547=(710² +610+9)-(510²+410+7).

710²+610+9 yig’indidan 510²+410+7 yig’indini ayirish uchun shu yig’indidan har bir qo’shiluvchini birin –ketin ayirish kifoya, bu qanday yoziladi:

(710²+610+9)-510²-410-7.

Endi 710² +610+9 yig’indidan 510², 410, 7 sonlarni ayiramiz. Yig’indidan sonni ayirish uchun shu sonni birorta qo’shiluvchidan ayirish yetarli. Shuning uchun 510² sonni 710² qo’shiluvchidan 4·10 sonni 6·10 qo’shiluvchidan, 7 sonini 9 qo’shiluvchidan ayiramiz.

(710²-510²)+(610-410)+(9-7).

Ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot xossasiga asosan 10² va 10 ni qavsdan tashqariga chiqaramiz.

(7-5)10²+(6-4)10+(9-7).

Ko’rib turibmizki, 769 va 547 sonlarining ayirmasi tegishli xona raqamlari bilan tasvirlangan bir xonali sonlarni ayirishga keltirildi: 7-5, 6-4, 9-7 ayirmalarini qo’shish jadvalidan topamiz:

210²+210+2

Hosil qilingan ifoda 222 sonining o’nli yozuvidir. Demak, 769-547=222

Umuman “ustun” qilib ayirish qoidasi: sonlarni o’nli sanoq sistemasida yozish usuliga, yig’indidan sonni va sondan yig’indini ayirish va ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonuniga, bir xonali sonlarni qo’shish jadvaliga asoslanadi.

Kamayuvchining biror xonasidagi bir xonali son ayriluvchining o’sha xonasidagi bir xonali sondan kichik bo’lgan holda ham ayirish qoidasining asosida o’sha nazariy dalillar yotishini ko’rsatamiz.

Berilgan sonlarni koeffitsentli o’nning darajalari yig’indisi ko’rinishida yozamiz:

(510²+410+0)-(110²+210+6)

0 dan 6 ni ayirib bo’lmaydi, demak, birinchi holdagidek ayirib bo’lmaydi. Shuning uchun 540 sonidan bitta o’nlikni olamiz va uni 10 birlik ko’rinishda yozamiz:

(510²-110²)+(310-210)+(10-6)

ayirishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonunini qo’llab va qo’shish jadvalidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:

(5-1)10²+(3-2)10+(10-6)=410²+110+4=414

O’nli sanoq sistemasida yozilgan ko’p xonali sonlarni ayirish algoritmi umumiy ko’rinishda quyidagicha ifodalanadi.

X= а_n 10ⁿ +…+а₁10+а₀,

У=в_к10^к+…+в₁10+в₀ sonlari berilgan bo’lsin.

1.Ayriluvchini mos xonalar bir –birining ostida bo’ladigan qilib kamayuvchining ostiga yozamiz.

2.Agar ayriluvchining birlar xonasidagi raqam kamayuvchining tegishli raqamidan katta bo’lmasa, uni kamayuvchining raqamidan ayiramiz, so’ngra keyingi xonaga o’tamiz.

3.Agar ayriluvchining birlar raqami kamayuvchining birlar raqamidan katta , ya’ni а_о<в_о bo’lib ,kamayuvchining o’nlari raqami 0 dan farqli bo’lsa , kamayuvchining o’nlar raqamini 1 ta kamaytiramiz, shu vaqtning o’zida birlar raqami 10 ta ortadi, shundan keyin 10+а_о sonidan в₀ ni ayiramiz va natijasini ayirmaning birlar xonasiga yozamiz, so’ngra keyingi xonaga o’tamiz.

4. Agar ayriluvchining birlar raqami kamayuvchining birlar raqamidan katta bo’lib, kamayuvchining o’nlar , yo’zlar va boshqa xonasidagi raqamlar 0 ga teng bo’lsa, kamayuvchining 0 dan farqli birinchi (birlar xonasidan keyingi ) raqamini olib, uni bitta kamaytiramiz, kichik xonalardagi barcha raqamlarni o’nlar xonasigacha 9 ta orttiramiz, birlar xonasidagi raqamni esa 10 ta orttiramiz va 10+a₀ dan в₀ ni ayiramiz. Natijani ayirmaning birlar xonasiga yozamiz va keyingi xonaga o’tamiz.

5.Keyingi xonada bu jarayonni takrorlaymiz.

6.Kamayuvchining katta xonasidan ayirish bajarilgandan keyin ayirish jarayoni tugallanadi.
O’nli sanoq sistemasida ko’p xonali sonlarni ko’paytirish .

426 ni 123 soniga ko’paytiramiz. (Sonlar yozma ustun shaklida ko’paytiriladi)

Ko’p xonali sonlarni o’rganganimiz uchun ko’p xonali sonni bir xonali songa va o’nning darajasiga ko’paytirishning nazariy asoslari nimadan iboratligini aniqlaymiz.

426 ni 3 ga ko’paytirish jarayonini ko’rib chiqamiz. O’nli sanoq sistemasida sonlarni yozish qoidasiga ko’ra 426 sonini bunday ko’rinishda yozish mumkin. 410² +210+6, u holda 4263=(410² +210+6)3

qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonuniga asosan oxirgi yozuvida qavslarni ochib, o’zgartirib yozamiz:

(410²)3+(210)3+63

Ko’paytirishning o’rin almashtirish va guruhlash qonunlari bu yigindidagi qo’shiluvchilarni bunday yozishga imkon beradi.

(43)10²+(23)10+63

Qavs ichidagi ko’paytmalar bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalidan topiladi:

1210²+6110+18

Ko’rib turibmizki, ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish bir xonali sonlarni ko’paytirishga keltirildi.

Ammo hosil bo’lgan ifoda sonning o’nli yozuvi emas-10 ning darajalari oldidagi koeffitsentlar 10 dan kichik bo’lishi kerak. Shuning uchun 12 ni 10+2 ko’rinishda ,18 ni 10+8 ko’rinishida yozamiz:

(10+2)10²+610+(10+8)

qavslarni ochamiz: 10³+210²+610+10+8

qo’shishning guruhlash qonuni va qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonunidan foydalanamiz: 110³+210²+(6+1)10+8; 6+1 yigindi bir xonali sonlar yigindisidir va uni qo’shish jadvalidan osongina topiladi: 110³+210²+710+8

Hosil bo’lgan ifoda 1278 sonining unli yozuvidir. Shunday qilib, 426·3=1278

Umuman, Х=а_n а_n-1…а₁а₀ sonni bir xonali son n ga ko’paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin:

1. Ikkinchi sonni birinchi sonning ostiga yozamiz.

2. Birlar xonasidagi raqamlarni “у” soniga ko’paytiramiz. Agar ko’paytma 10 dan kichik bo’lsa, uni javobidagi birlar xonasiga yozamiz va keyin o’nlar xonasiga o’tamiz

3. Agar birlar xonasidagi raqamlarning “у” soniga ko’paytmasi 10 dan katta yoki 10 ga teng bo’lsa, uni 10∙q₁+C₀ ko’rinishda yozamiz, bunda C₀ – bir xonali son: C₀ ni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va q₁ ni keyingi xonaga o’tkazishni esda saqlaymiz

4.O’nlar xonasidagi raqamni Y soniga ko’paytiramiz, chiqqan ko’paytmaga q₁ ni qo’shamiz va 2- hamda 3- punktlardagi jarayonni takrorlaymiz.

5.Yuqori xona raqamlari ko’paytirilgandan keyin ko’paytirish jarayoni tugallanadi.

Ma’lumki, x sonni 10^к ko’rinishdagi songa ko’paytirish berilgan sonning o’nli yozuviga o’ng tomondan k ta nolni qo’shib yozishga keltiriladi. Haqiqatan, agar

х =а_n10ⁿ+ а_n-110^n-1+….. а₁10+а₀ bo’lsa , u holda

х10^k =(а_n10ⁿ+а_n-110^n-1+….. а₁10+а₀)10^k

qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taksimot qonunini va ko’paytirishning boshqa qonunlarini qo’llab, а_n10^n+k+а_n-110^n+k-1+…+а₁10^k+1+а₀10^k ni hosil qilamiz. Bu ifoda

а_nа_n-1…а₁а₀ 0…0 sonning o’nli yozuvidir.

Masalan, 534·10³=(5·10²+3·10+4)·10³=5·10⁵+3·10⁴+4·10³=534000

Endi ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish algoritmini qaraymiz. Yuqorida qaralgan misolga, ya’ni 426·123 ko’paytmaga qaytamiz. 123 sonini koeffitsentli o’nning darajalari yigindisi ko’rinishida yozamiz: 123=110²+210+3 va 426(110²+210+3) ko’paytmani yozamiz. Bu ko’paytma qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonuniniga ko’ra 426(110²)+426(210)+4263 ga teng. Bundan ko’paytirishning guruhlash qonuniga asosan: (4261)10²+(4262)10+4263

Shunday qilib, ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirishga keltirildi…

Umuman, х=а_nа_n-1…а₁а₀ sonni y=b_kb_k-1…b₁b₀ songa ko’paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin.

1. x ko’paytuvchini yozamiz va uning ostiga ikkinchi ko’paytuvchi у ni yozamiz.

2. x sonni у sonning kichik xonasi b₀ ga ko’paytiramiz va x b₀ ko’paytmani у sonning ostiga yozamiz.

3. x sonni у sonning keyingi xonasi b₁ ga ko’paytiramiz va x b₁ ko’paytmani bir xona chapga surib yozamiz. Bu x b₁ ni 10 ga ko’paytirishga mos keladi.

4. Bu jarayonni x b_k hisoblaguncha davom ettiramiz.

5. Topilgan k+1 ta ko’paytmani qo’shamiz.

Boshlang’ich matematika kursida ko’paytirishni o’rganish bir necha bosqichda olib boriladi, unga bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvali, nol bilan tugaydigan ikki xonali sonlarni ko’paytirish; ko’p xonali sonlarni bir xonali, ikki xonali va uch xonali sonlarga ko’paytirish kiradi.

“Ustun” qilib ko’paytirish algoritmini o’rganish uch xonali sonni bir xonali songa ko’paytirishdan boshlanadi. Undan oldin quyidagi ko’paytma tushuntiriladi:

4263=(400+20+6)3=4003+203+63=1200+60+18=1278

Bular uch xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish:

-sonni o’nli sanoq sistemasida yozishga;

- qo’shishga nisbatan ko’paytirishni taqsimot qonuniga;

- yaxlit sonlarni bir xonali songa ko’paytirish, ya’ni bir xonali sonlarini ko’paytirish jadvaliga;

- ko’p xonali sonlarni qo’shishga asoslanishni ko’rsatadi.

So’ngra misollar orqali ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish va ko’p xonali sonlarni qo’shishga keltiriladi. Misol: 4638=46(30+8)=4630+468

Sonlarni bo’lish texnikasi haqida so’z borar ekan, bu jarayonni qoldiqli bo’lish amali kabi qaraladi. Ta’rifni eslaylik: butun nomanfiy a sonni в natural songa qoldiqli bo’lish deb а= вq+r va 0

Bir xonali va ikki xonali (89 dan katta bo’lmagan) sonlarni bir xonali songa bo’lganda bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalidan foydalaniladi.

Masalan, 54 ni 9ga bo’lish kerak bo’lsin.9- ustunda (9- satrda ) 54 sonini topamiz. U 6- satrda joylashgan. Demak 54:9=6

Endi 51 ni 9 ga bo’lamiz. 9- ustunda 51 soni yuq. Shuning uchun bu ustunda 51 dan kichik eng yaqin 45 sonini olamiz.45 soni 5- satrda bo’lgani uchun to’liqsiz bo’linma 5 ga teng . Qoldiqni topish uchun 51 dan 45 ni ayiramiz: 51-45=6. Shunday qilib, 51=95+6 yoki maktab simvolikasi bilan yozsak:51:9=5(qol.6)

Endi ko’p xonali sonni bir xonali songa bo’lish qanday amalga oshirilishini aniqlaymiz. 238 ni 4 ga bo’lish kerak bo’lsin.Bu degani shunday to’liqsiz bo’linma q va r qoldiqni topish kerakki , ular uchun 238=4 q+r, 0r<4 bo’lsin.

Shuni aytish kerakki, 238 va 4 sonlarining to’liqsiz bo’linmasi q ga bo’lgan talabini quyidagicha yozish mumkin: 4q<238<4 (q+1)

Avval q sonining yozuvda nechta raqam bo’lishini aniqlaymiz.

q bir xonali son bo’lmaydi, chunki 4 sonining bir xonali songa ko’paytmasi plyus qoldiq 238 ga teng emas. Agar q soni 2 xonali bo’lsa ya’ni agar 10

Bo’linmaning 10lar raqamini topish uchun 4 ni ketma-ket 20ga, 30ga, 40ga va hokazoga ko’paytiramiz. 4·50=200, 4·60=240 va 200<238<240 bo’lgani uchun to’liqsiz bo’linma 50 va 60 sonlari orasida bo’ladi, ya’ni q=50+q₀ u holda 238 soni haqida bunday deyish mumkin:

Shunday qilib, 238 ni 4ga bo’lganda to’liqsiz bo’linma 59 va 2 qoldiq hosil bo’ladi. 238=4·59+2 Bo’lishning ifodalangan bu jarayoni burchak qilib bo’lish asosida yotadi.

1<30 va q₁ sonini q₁=20+q₀ ko’rinishda yozish mumkin. U holda 1058 soni haqida quyidagilarni aytish mumkin. 46(20+q₀)1058<46(20+q₀+1), ya’ni 4620+46q₀1058<4620+46(q₀+1), 46q₀138<46(q₀+1)

Oxirgi tengsizlikni qanoatlantiruvchi q₀ sonini 46 ni ketma-ket birga, 2ga, 3ga, 4ga, 5ga… ko’paytirib, tanlab topamiz. 46·3=138 ni ya’ni qoldiq nolga teng bo’lgan holni topamiz. Demak, 5658:46=123.

Bu mulohazalar burchak qilib bo’lish asosida yotadi…

Ko’p xonali sonlarni bo’lish haqida to’la tasavvurga ega bo’lish uchun bo’linmada nollar paydo bo’lgan holni qaraymiz. Masalan 7549 ni 37 ga bo’lamiz, ya’ni shunday q va r sonlarni topamizki, ular uchun 7549=37·q+r, 0r1 ,bunda q-ikki xonali son va 37·(200+q₁) 7549<37·(200+q₁+1).

Shakl almashtirishlardan keyin 37q₁149<37(q₁+1) tengsizlikka kelamiz. q₁ soni ikki xonali bo’lgani uchun uning yozuvidagi o’nlar raqami 37ni 10ga, 20ga, 30 ga va hokazo ko’paytirish bilan topiladi. Biroq qaraladigan holda bu sonlarning birortasi ham tengsizlikni qanoatlantirmas ekan. Demak, q₁ sonidagi o’nlar raqami 0 ga teng ekan, ya’ni q₁=0+q₀. To’liqsiz bo’linma q quyidagi ko’rinishga ega:

q=200+0+q₀, bunda q₀ – birlar soni va q₀=q₁

Oxirgi tengsizlikdan: q₁=4. Demak izlanayotgan bo’linma 200+0+4=204 soni ekan. Qoldiq 1 ga teng, chunki 7543-37∙204=1.
Butun nomanfiy a sonni в natural songa bo’lishning turli usullarining umumlashmasi quyidagi burchak qilib bo’lish algoritmi hisoblanadi:

I.Agar a=в bo’lsa, bo’linma q=1, qoldiq r=0 bo’ladi.

II.Agar a>в bo’lib, a va в sonlardagi xonalar soni bir xil bo’lsa, в ni ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ga ko’paytirib bo’linma tanlab olinadi, chunki a<10в

III.Agar a>в bo’lib, a sondagi xonalar soni в sondagi xonalar sonidan katta bo’lsa, a bo’linuvchini yozib, uning o’ng tomoniga в bo’luvchini yozamiz va oralariga burchak belgisini qo’yib, bo’linma hamda qoldiqni ushbu ketma-ketlikda qidiramiz:

1. в sonda nechta xona bo’lsa, a sonida shuncha xonalarni yoki, agar zarur bo’lsa, bitta ortik xonani shunday ajratamizki, ular в dan katta yoki o’nga teng d₁ sonni hosil qilsin. в ni ketma-ket 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ga ko’paytirib, d₁ va в sonlarning q₁ bo’linmasini tanlab topamiz. q₁ ni burchak ostiga yozamiz.

2. d ni q₁ ga ko’paytirib, ko’paytmani a sonining ostiga shunday yozamizki, vq1 sonning quyi xonasi ajratilgan d₁ sonning quyi xonasi ostiga yozilsin.

3. в₁ ning ostiga chiziqcha chizamiz va ayirmani topamiz.

r₁=d₁-вq₁

4. r₁ ayirmani вq₁ sonning ostiga yozamiz, r₁ ning o’ng tomoniga a bo’luvchining foydalanilmagan xonalaridan yuqori xonasini yozamiz va chiqqan d₂ sonni в bilan taqqoslaymiz.

5. Agar chiqqan d₂ son в dan katta yoki unga teng bo’lsa, u holda d₂ nisbatan I va II punktlardagidek ish tutamiz.q₂ bo’linmani q₁ dan keyin yozamiz.

6. Agar chiqqan d₂ son в dan kichik bo’lsa, birinchi chiqqan d₃ son в dan katta yoki unga teng bo’lishi uchun keyingi xonalardan qancha zarur bo’lsa yana shuncha yozamiz. Bu holda q₁ dan keyin shuncha nol yozamiz. Keyin d₃ ga nisbatan I va II punktlardagidek ish tutamiz q₂ bo’linma nollardan keyin yoziladi. Agar a sonning kichik xonalaridan foydalanganda d₃< в bo’lsa, d₃ va в sonlarning bo’linmasi nolga teng bo’ladi va bu nolni bo’linmaning oxirgi xonasiga yozamiz, qoldiq r=d₃ bo’ladi.

Katalog: uploads -> books -> 251467
251467 -> Elektron pochta serveri yordamida ishlovchi mijoz dasturini yaratish
251467 -> O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi
251467 -> Ўзбекистон республикаси

Download 1.13 Mb.