| 2.2.3 Yadrolarda sferik funksiyalarning yechimlari
Laplas tenglamasini sferik koordinatalar sistemasida yechish. Laplas tenglamasining koordinatalar sistemasidagi ko’rinishi:
(2.2.3.1)
Furie metodidan foydalanib, bu tenglama yechimini ko’paytma ko’rinishida qidiramiz:
(2.2.3.2)
(2) tenglmani (1) ga qo’yib quyidagini hosil qilamiz:
.
bu tenglikni ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:
(2.2.3.3)
bu yerda - Lejandra operatori deyiladi, u
(2.2.3.4)
gat eng bo’ladi.
(3)-tenglamaning oldidagi koeffitsentni λ deb belgilaymiz (λ-doimiylik), bundan ikkita tenglama kelib chiqadi.
, (2.2.3.5)
. (2.2.3.6)
(6) – tenglamani quyidagi ko’rinishda yozamiz:
=0 ()
Shunday qilib, qaytadan Furie metodiga keltiramiz. ) ni ko’paytma ko’rinishida ifodalaymiz
Y=V() (2.2.3.7)
va bu ifodani () ga qo’yamiz. Bunda
.
ifoda hosil bo’ladi.
Oxirgi tenglamani ga ko’paytiramiz va quyidagini hosil qilamiz
.
Tenglama oldidagi doimiyni bilan belgilaymiz. Bundan 2 ta oddiy differensial tenglama hosil bo’ladi
(2.2.3.8)
) V()=0 (2.2.3.9)
(2.2.3.8)- tenglamani yechib, uni ko’rsatkichli funksiya ko’rinishida yozamiz:
(2.2.3.10)
Shunday qilib, bu odatdagi funksiya davriylik shartini qanoatlantiradi,
,
yuqoridagilardan kelib chiqadiki, ning qiymatlari ixtiyoriy bo’lishi mumkin emas, faqat butun qiymatlarni qabul qiladi.
Shunday qilib, funksiya quyidagi ko’rinishni oladi:
(2.2.3.)
(9) – formulani quyidagi munosabatda bo’ladi
(2.2.3.)
() tenglamaga Lejandraning umumlashgan tenglamasi deyiladi. Agar yangi x= noma’lum o’zgaruvchi kiritsak, (-1 oraliqda) va deb belgilasak, Lejandraning umumlashgan tenglamasi odatdagi ko’rinishni oladi:
(2.2.3.11)
Haqiqatdan ham, shuning uchun
va ni ga qo’ysak (11) – ifoda kelib chiqadi.
.
Modomiki, (9)- tenglamadan alohida o’zgaruvchi orqali (2.2.3.11)– tenglamani hosil qildik. Bundan ko’rinib turibdiki (9) –tenglamaning chekli yechimi faqat holdagina bo’ladi.
Bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi
Bu tenglamaning integral ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(2.2.3.12)
Shunday qilib, funksiyani
ko’rinishda qidiramiz, tenglamaning o’ng qismining yechimini R(r) radial ko’rinishda qidiramiz (5). (5)-tenglamadagi qavsni ochib chiqamiz va λ ni bilan almashtiramiz
(2.2.3.)
Bu Eylerning tenglama tipiga mansub bo’ladi. Bunga ko’ra bu tenglamaning yechimi quyidagi ko’rinishfda qidiramiz:
(2.2.3.13)
Bundan R bo’yicha hosila olib () ga qo’yamiz va quyidagini hosil qilamiz:
.
Umumiy hadni ga qisqartiramiz va quyidagi munosabat hosil bo’ladi:
bu yerdan
, +1).
() tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda kelib chiqadi
.
Shunday qilib, sharning ichki hamma nuqtalari uchun faqat chekli yechim bizni qiziqtiradi, bunda holat bo’lishi kerak. Shunday qilib,
. (2.2.3.14)
Bu munosabatdan (7) tenglik kelib chiqadi, (6)-tenglamaning chekli yechimi sferik funksiya bo’ladi.
Bundan ko’rinib turibdiki, har bir sferik funksiya uchun 2 bo’ladi., m=o, 1, 2, ……. kabi munosabatda bo’ladi.
Radial funksiya istalgan sferik funksiyaga ko’paytmasi (2) – tenglamaning qisman chekli yechimi Laplas tenglamasi bo’ladi:
. (2.2.3.15)
funksiya sharga tegishli (1)-tenglamaning umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:
(2.2.3.16)
| 