| 2.3.1 Gelmgolsning skalyar tenglamasi yechimi
Birinchi navbatda Gelmgolsning skalyar tenglamasini singulyarsiz bir necha sodda masalasini ko’ramiz
(2.3.1.1)
(17)-tenglamaning quyidagi tenglama qanoatlantirishini ko’rsatish mumkin (2.3.1.2)
bu yerda va butun sonlar garmonik sferasida juda yaxshi ma’lum bo’lgan normallashtirishdir: - Besselning sferik funksiyasi. Standart holatlarda biz nurlanish maydonini yassi to’lqinlar uchun kvantlaymiz. Tarqaluvchi to’lqinni yozish uchun Gelmgols tenglamasi yechimini aynan Xankel funksiyasi da cheksizlikda intilganda ko’rish kerak bo’ladi
(2.3.1.3)
bu yerda J – yarim butun tartibli oddiy Bessel funksiyasi. funksiya keyingi asimtotik munosabatlarda bo’ladi
(2.3.1.4)
(2.3.1.5)
bu yerda
(2.3.1.5)
Agar chegaraviy shart qo’yilganda, unda munosabat o’rinli bo’ladi. Bu yerdan talab kelib chiqadi. Bu yerda shart uchun butun musbat sonlar.
funksiyasi bir qator qiziqarli xossalarga egadir.
1) Ular Gelmgols skalyar tenglamasining singulyarsiz yechimida to’liq orthogonal sistemani namoyon etadi. To’liqlik bilan istalgan funksiya da yo’qoluvchi va nollarda asosiy bo’lmay ular ma’lum bir chiziqli kombinatsiyalan-gan funksiya bo’lishi mumkinligidir. Ortogonallik sharti
(2.3.1.6)
Besselning sferik garmonik va sferik funksiya ortogonalligini inobatga olinadi. (22) shartda V-hajm sohasida integrallanadi.
2) Agar harakat miqdori moment operatorini
(2.3.1.7)
funksiya ta’sir ettirsak, unda
(2.3.1.8 a)
(2.3.1.8 b)
munosabat o’rinli bo’ladi, ya’ni - orbital harakat miqdori moment operatorining xususiy funksiyasidir. Bu munosabat harakat miqdori momenti bilan bog’liq zarrachaning to’lqin funksiyasini qanoatlantiruvchi tenglamalar aniqlik bilan mos kelishi kerak, z-M harakat miqdori moment komponentasi bo’lib, spinga bog’liq emas.
3) funksiya
(2.3.1.9)
tenglikni qanoatlantiradi.
Demak, (25) dan kelib chiqib, L ning juft yoki toq bo’lishiga ko’ra, juft (juftligi +1 ga) yoki toq (juftligi -1 ga teng) bo’ladi.
| 