Elektrodinamika bsc ci laTeX

írta CI LaTeX

Publication date 2015

Szerzői jog © 2015 CI LaTeX

1. 1 A Maxwell-egyenletek Error: Reference source not found

1. 1 A Maxwell-egyenletek

Az elektrodinamika törvényeit a Maxwell-egyenletek foglalják magukban. Felírjuk az egyenleteket két különböző formában. Az egyik:

A másik formában a harmadik és negyedik egyenlet változatlan, az első kettő a következő:

Az ismeretlenek az E elektromos térerősség, a B mágneses indukció vektor, ill. a D elektromos eltolás vektora és a H mágneses térerősség. Ismertnek tételezzük fel a térfogati töltéssűrűséget és a j térfogati áramsűrűséget. A baloldalon tetszőleges zárt görbére vagy zárt felületre vett integrálok, a jobb oldalon a zárt görbe által határolt felületre vagy a zárt felület által határolt térfogatra vett integrálok állnak. és univerzális állandók. A későbbiekben használni fogjuk a állandót is.

Az elektrodinamika tankönyvek, jegyzetek egyik része a Maxwell-egyenleteket az első, másik része a második módon vezeti be. Nagyon fontos tudni, hogy a kétféle felírásban és j nem ugyanazt jelenti. Az első felírás első két egyenletében ill. j minden lehetséges töltéssűrűséget ill. áramsűrűséget tartalmaz, a második felírásban az anyagokban megjelenő polarizációs töltéssűrűség, ill. polarizációs és mágneses áramsűrűség nem szerepel -ban ill. j-ben. Ezért utóbbiak pontos jelölése ill. , a valódi indexen azt kell érteni, hogy nem polarizációs töltésről, ill. nem polarizációs vagy mágneses áramról van szó. A valódi sűrűségeket általában jobban ismerjük, mint a nem valódiakat. A cél természetesen E ill. B meghatározása, ehhez tudnunk kell, hogy milyen kapcsolatban állnak D-vel ill. H-val. A kapcsolat anyagtól függően lehet egyszerű és nagyon bonyolult is. Mindezek a dielektrikumok, ill. a mágneses anyagok tárgyalásánál részletes kifejtésre kerülnek. Azt a nézőpontot fogadjuk el, hogy az elsődleges fizikai mennyiségek E és B, D-t és H-t abban a reményben vezetjük be, hogy a valódi sűrűségeket tartalmazó egyenleteket könnyebben meg tudjuk oldani.

Az SI-rendszerben az elektrodinamika alapmennyisége az áramerősség, definíciója a következő: két egyenes, egymással párhuzamos, végtelen hosszú, elhanyagolhatóan kis körkeresztmetszetű vákuumban lévő vezetőben, amelyek egymástól 1 méter távolságra vannak, akkor folyik 1A erősségű áram, ha méterenként N erő hat rájuk. A többi mennyiség egységeit az elektrodinamika törvényeiből származtatjuk, a töltését például a , az elektromos térerősségét az egyenlőségből. A mágneses indukció vektor definíciója kissé bonyolultabb. 1 T(tesla) a mágneses indukció, ha 1 m területű, 1 A erősségű áramhurokra gyakorolt maximális forgatónyomaték 1 Nm. A definíció alapjául szolgáló törvény természetesen csak kisméretű áramhurokra érvényes jó közelítéssel, a hivatalos mértékegységek helyett mondhatnánk pl. 10 m területet és 10 Nm forgatónyomatékot. A definíciókhoz felhasznált törvényeket a Maxwell-egyenletekből le lehet vezetni.

Mit fejeznek ki a Maxwell-egyenletek? Az (1) egyenlet szerint az áram és az időben változó elektromos tér mágneses teret kelt, áram dimenziójú mennyiség. A (2) egyenlet azt állítja, hogy az elektromos tér forrásai a töltések. A (3) egyenlet szerint az időben változó mágneses tér elektromos teret kelt. A (4) egyenlet azt a kísérleti tényt fejezi ki, hogy mágneses töltés (monopólus) nem létezik. (Hasonlítsuk össze (4)-et (2)-vel!)

Az integrális Maxwell-egyenletek a tetszőleges térfogatra és az azt határoló zárt felületre érvényes Gauss-tétel és a tetszőleges felületre és az azt határoló zárt görbére érvényes Stokes-tétel segítségével differenciális alakra hozhatóak. Ezek a következőek:

A differenciálegyenletek térrészenként érvényesek, a térrészek határain határfeltételek állnak fenn. Az integrális egyenletekből levezethető határfeltételek a következőek:

1) , az elektromos térerősség felületre merőleges, normális komponense a két térrészt elválasztó felületen ugrik, az ugrás nagysága az felületi töltéssűrűséggel arányos.

2) , az elektromos térerősség felülettel párhuzamos, tangenciális komponense (egy kétkomponensű vektor) a két térrészt elválasztó felületen folytonosan megy át.

3) , a mágneses indukció vektor normális komponense a két térrészt elválasztó felületen folytonosan megy át.

4) , a mágneses indukció vektor tangenciális komponense (ez ad járulékot a vektoriális szorzáshoz) a két térrészt elválasztó felületen ugrik, az ugrás nagysága az i felületi áramsűrűséggel arányos, n a felület 1-es térrészből 2-es térrészbe mutató normálisa.

Az (5) egyenlet divergenciáját az (6) egyenlet időszerinti parciális deriváltjával összehasonlítva adódik a kontinuitási egyenlet, ami (a hidrodinamikai anyagmegmaradáshoz hasonlóan) az elektromos töltés megmaradását fejezi ki. Az egyenletet tetszőleges térfogatra integrálva a Gauss-tétel felhasználásával kaphatjuk a

egyenletet. Eszerint egy tetszőleges térfogatban az elektromos töltés csak azért változhat időben mert a térfogat határfelületén töltés áramolhat ki és be. A Maxwell-egyenletek tehát implicit módon tartalmazzák a töltés megmaradását, és így a világegyetem össztöltése állandó.

A j áramsűrűség két részre osztható, , az első a vezetőben folyó, vezetési (konduktív) áramsűrűség, a második a szabadon mozgó töltések konvektív áramsűrűsége, , a töltéssűrűség, v a töltés(ek) sebessége.

Az Ohm-törvényt a Maxwell-egyenletek nem tartalmazzák. Kapcsolatot teremt a vezetőben folyó áram sűrűsége és az elektromos térerősség között. A tapasztalat szerint az áramerősség, , ahol a potenciálkülönbség az hosszúságú, (állandó) keresztmetszetű vezetődarab végei között, a vezető anyagi minőségére jellemző arányossági tényező, a vezetődarab ellenállása. Az áramsűrűség nagysága, az 0 határátmenetben -hez tart, és mivel az áram iránya a pozitív töltés mozgásiránya, ezért a differenciális Ohm-törvény. Itt j mindenhol a vezetési áram sűrűsége.

2. 2 Elektrosztatika

Az elektrosztatika egyenleteit úgy kapjuk, hogy a Maxwell-egyenletekben az áramsűrűség és az időderiváltak helyébe zérust írunk:

Látható, hogy nincs kapcsolat az elektromos és mágneses mező között, az elektrosztatika és a magnetosztatika egymástól függetlenül tárgyalható. Az elektrosztatika integrális egyenletei:

Ezek akkor használhatók jól, ha a feladat valamilyen szimmetriát mutat, ilyenkor az integrálok könnyen kiszámíthatóak, általános esetben a differenciális egyenleteket kell megoldanunk a határfeltételekkel. Példaként meghatározzuk az egyenletesen töltött gömb elektromos terét.

Legyen az sugarú gömb össztöltése , a töltéssűrűség ekkor . A gömbszimmetria miatt a térerősség csak a gömb középpontjától mért távolság, függvénye, E E(r). Kényelmes a gömbi koordináták használata, az egyenletet a gömb egy tetszőleges hosszúsági, ill. szélességi körére alkalmazva azt kapjuk, hogy , ill. . Az első integrális egyenletet egy sugarú gömbre oldjuk meg, két esetet kell megkülönböztetnünk:

Emlékezzünk vissza a mechanikára, éppen ilyen szerkezetű egy homogén tömegeloszlású gömb gravitációs tere.

Szimmetria híján a rot E 0, egyenleteket kell térrészenként megoldanunk. Mivel rot E 0, E felírható egy skalárfüggvény gradienseként,

E grad, az elektrosztatikus vagy skalár potenciál. Megjegyezzük, hogy mint a mechanikában az erőt, itt is ( gradienseként írjuk fel E-t, az egységnyi töltésre ható erőt. Ez a választás vezet az energiamegmaradás olyan alakjára, hogy a mozgási és helyzeti energia összege állandó. A második egyenletbe helyettesítve E grad -t kapjuk a Poisson-egyenletet: (a -operátor derékszögű koordinátákban a másodrendű parciális deriváltak összege)

A Poisson-egyenletet is térrészenként kell megoldani, és a megoldásokat össze kell illeszteni az

határfeltételek segítségével. A potenciálkülönbség fizikai jelentése az egységtöltésen az elektromos térerősség által végzett munka:

Az helyzetvektorú pontban lévő ponttöltés elektromos tere az r helyzetvektorú pontban:

A Maxwell-egyenletek lineárisak, azaz változók elsőtől különböző hatványait és különböző változók szorzatait sem tartalmazzák, így alkalmazható rájuk a szuperpozíció elve, amely szerint megoldások összege (tetszőleges lineáris kombinációja) is megoldás.

Egy tetszőleges töltéseloszlás elektromos tere úgy kapható meg, hogy a kis térfogatokban lévő töltések elektromos tereit összeadjuk, azaz integráljuk:

Megmutatható, hogy ez az megoldása a Maxwell-egyenleteknek. Szavakkal kifejezve:

elektrosztatika Coulomb-törvény szuperpozíció.

Az előzőekhez hasonlóan egy ponttöltés potenciálja:

egy töltéseloszlás potenciálja:

Megmutatható, hogy ez a kielégíti a Poisson-egyenletet.

Ha le tudnánk írni egy ponttöltés töltéssűrűségét, akkor az általános képletből is megkaphatnánk a ponttöltés potenciálját. A keresett töltéssűrűség olyan, hogy a ponttöltés helyén kívül mindenhol 0, ott viszont végtelen, mert 0 térfogattal kell osztanunk. Ilyen függvény nincs. A matematikusok ezért bevezették az általánosított függvény fogalmát, amelyet egy, a megszokott reguláris függvények alkotta sorozat határfüggvényeként értelmeztek. A Dirac-ról elnevezett - függvény olyan Gauss-függvények (haranggörbék) határfüggvénye, amelyeknek a teljes értelmezési tartományra vett integrálja 1, szélességük 0-hoz, ezért maximális értékük -hez tart. A definíció szerint így (r dV 1. Az helyzetvektorú ponttöltés töltéssűrűsége (r , (r dV . Tetszőleges (r) függvényre igaz, hogy (r dV .

Legyen töltés a derékszögű koordinátarendszer (0, 0, /2) pontjában, töltés a

(0, 0, /2) pontban. Ha kicsi a megfigyelési pont és a kezdőpont távolságához képest, akkor a két ponttöltés együttes potenciálja az egyes töltések potenciáljainak / szerinti sorfejtésével a következő alakra hozható:

Itt p a két töltés dipólmomentumvektora, , a vektor a negatív töltéstől a pozitív felé mutat. A kis dipólus térerősségvektora:

Legyen adott valamilyen töltéseloszlás, szeretnénk meghatározni ennek közelítő potenciálját nagy távolságban. A koordinátarendszer kezdőpontját a töltésekhez közel vesszük fel, a töltés helyzetvektora legyen , a potenciálponté R, a töltéstől a potenciálponthoz mutató vektor . A töltésrendszer össztöltése , eredő dipólmomentuma definíció szerint (Belátható, hogy két ellentétes töltés esetén ez a defíníció visszaadja a p d dipólmomentumot.)

1. közelítés: esetén ,

a kezdőpontban lévő töltés potenciáljával egyenlő.

2. közelítés: , ,

a kezdőpontban lévő töltés és p dipólmomentum potenciáljával egyenlő.

A zárójelbeli ...az elhanyagolt, -ben magasabbrendű tagokra utal. A kapott eredmény az ún. multipólus sorfejtés első két tagja.

A vezetők olyan szilárd testek, amelyek sok szabad elektront tartalmaznak. Ezek az egyes atomok "külső" elektronjai, nem kötődnek szorosan atomjaikhoz, elektromos erőtér hatására mozgásba jöhetnek. Így elektrosztatikailag csak az lehetséges, hogy a vezető belsejében E 0, a vezető külső felületén E merőleges a felületre, amely ezért ekvipotenciális felület kell legyen. A vezető belsejében divE is 0, ezért a térbeli töltéssűrűségnek is 0-nak kell lennie. Ezt úgy kell érteni, hogy nem atomi méretekben vizsgálódunk, nem megyünk olyan "közel" a protonokhoz és elektronokhoz, hogy érezzük azok elektromos terét, hanem átlagolunk olyan, nagyon kis tartományokra, amelyek még mindig nagyon sok protont és elektront tartalmaznak. Azt mondhatjuk, hogy makroszkópikus elektrodinamikával foglalkozunk.

Megvizsgáljuk, hogyan változik a vezető belsejébe vitt töltés időben. Az Ohm-törvény szerint j E, az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy állandó. A kontinuitási egyenletet átalakítjuk:

ennek megoldása

.

A töltéssűrűség tehát a relaxációs idő alatt -ed részére csökken, szokás azt mondani, hogy a töltések "kiülnek" a vezető felületére. Vezetőkre kicsi, pl. rézre A/Vm, s. (Szigetelőkre , állandó.)

Lehet-e elektromos erőtér a vezető belsejében lévő üres üregben? Vegyük körül az üreget egy olyan zárt felülettel, amelynek minden pontja a vezetőben van, tehát a felületen E 0. Erre a felületre , ami azt jelenti, hogy az üregben az össztöltés 0. Lehetséges-e, hogy az üreg határán, a vezető belső felületén egyenlő számban vannak pozitív és negatív töltések? Tegyük fel, hogy így van, és rajzoljunk meg az üregben egy olyan erővonalat, amely egy pozitív töltésből indulva egy negatív töltésben végződik. Egészítsük ki ezt az erővonalat zárt görbévé egy a vezetőben haladó szakasszal. E zárt görbére . Az integrálhoz a vezető belsejében haladó szakasz nem ad járulékot, mert ott E 0, az erővonal járuléka viszont nem lehet 0, mert ez azt jelentené, hogy munkavégzés nélkül mozgathanánk töltést a pozitív töltésből a negatívba. Töltések tehát az üreg falán sem lehetnek. A vezető belsejében lévő üreget szokás Faraday-kalitkának nevezni, ez megvédi pl. az űrhajósokat a lehetséges külső elektromos tértől.