9. 9 Geometriai optika
A geometriai optika a fényterjedést sugarakkal írja le. Vizsgáljuk az elektromágneses hullám terjedését izotrop inhomogén szigetelő közegben. A hullámegyenlet 0 alakú, itt (r) a helyfüggő terjedési sebesség, az E elektromos térerősség vagy a B mágnese indukció valamelyik derékszögű komponense. Az egyenlet időben periodikus megoldása , a
egyenletnek tesz eleget. Keressük ennek megoldását (r)) alakban. Az (r) neve eikonál (fényút), az állandó felület normálvektora jelöli ki a fényterjedés irányát az adott pontban. Síkhullámban állandó terjedési sebesség esetén nr. Ha (r) lassan változik, és közel lineáris r-ben, akkor közel síkhullám. A törésmutató definíciója , ahol a vákuumbeli hullámszám.
A 0 ( határesetben az egyenlet a
közelítő alakban írható, ez az eikonál-egyenlet. 0 (elterjedt) pongyola megfogalmazás, adott hullámhosszú fény terjedése során természetesen állandó, azt kell megmondanunk, hogy mihez képest kicsi. A közelítés során, amelyet itt nem részletezünk, bizonyos tagokat elhanyagolunk, az elhanyagolás feltételei a következőek:
1. , ahol a közegbeli hullámhossz.
2. Az állandó egyenlet által meghatározott hullámfelület görbületi sugara .
3. A hullámfront lineáris méretei (pl. gömbhullám esetén a gömb sugara) .
Az első feltétel nem érvényes pl. fény és árnyék határán (itt az intenzitás gyorsan változhat, grad nagy lehet), a második és harmadik feltétel nem érvényes fényforrások, fókuszok közelében.
Izotrop közegben a k hullámszámvektor a fénysugarak irányába mutat, merőleges az állandó felületekre. Ekkor az eikonál-egyenletből gyökvonással azt kapjuk, hogy .
Tetszőleges zárt görbére igaz, hogy .
Alkalmazzuk ezt egy olyan zárt görbére, amelynek AB szakasza a fénysugár egy darabja, B-ből A-ba pedig valamilyen tetszőleges görbén jutunk vissza.
A skalárszorzat tulajdonsága miatt igaz, hogy , ezért
az utolsó két integrálban a integrálási út a megfordítottja. Az első és utolsó integrál összehasonlítása szolgáltatja a Fermat-elvet: az optikai úthossznak nevezett integrál a fénysugár mentén minimális. Felhasználva, hogy , arra jutunk, hogy
és így terjedési idő minimális a fénysugár mentén.
Alkalmazásként a Fermat-elvből levezetjük a Snellius-Descartes-törvényt. Meghatározzuk, hogy az 1-es közeg P pontjától a két közeget elválasztó sík határfelület melyik P(,0) pontján keresztül vezet a legrövidebb fényút a 2-es közeg P pontjához. Annak kell teljesülnie, hogy
Ebből következik, hogy , ahol a beesési, a törési szög.
| 