Retardált potenciálok, dipólsugárzás, fényszórás

Levezetjük a Maxwell-egyenletek egy fizikailag nagyon fontos megoldását. A teljes egyenletrendszer:

Az elektrosztatikában már bevezettük a skalárpotenciált, a stacionárius áram tárgyalásánál a vektorpotenciált, most ugyanezek legáltalánosabb alakját adjuk meg. Mivel , ezért bevezethető a vektorpotenciál, B rotA . Beírva ezt a harmadik egyenletbe az adódik, hogy

ezért az vektor írható fel gradiensként,

és ugyanazt az E-t és B-t határozza meg, mint A és , most is igaz, hogy a potenciálok csak egy mértéktranszformáció erejéig meghatározottak, kiróható egy mellékfeltétel, ami egyszerűsítheti az egyenleteket. Azt írjuk elő, hogy teljesüljön, ekkor Lorentz-mértékben dolgozunk. A potenciálokra így a következő egyenleteket kapjuk:

ezek az inhomogén hullámegyenletek. Megmutatható, hogy az alábbi megoldások az egyenletek mellett a Lorentz-feltételt is kielégítik:

Ezek a retardált potenciálok, a retardálás, időbeli késés az idő szerinti második derivált hatása. Fizikai jelentésük nagyon természetesnek látszik. A hatás nem pillanatszerű, sebességgel terjed, az idővel korábbi töltés- ill. árameloszlás határozza meg a skalár- ill. vektorpotenciált. Éppen ennyi időre van szükség ahhoz, hogy hatás elérjen az helyzetvektorú pontból az r helyzetvektorú pontba. Megjegyezzük, hogy az inhomogén hullámegyenleteknek megoldásai az ún. avanzsált potenciálok is, amelyekben . Ez azt jelentené, hogy az idővel későbbi töltés- ill. árameloszlás határozná meg a potenciálokat, ami ellentmond az ok-okozat összefüggésnek, így semmiféle fizikai jelentése nem lehet.

A megoldás alábbi szemléletes magyarázata Feynmantól származik. Ha csak a kezdőpontban van egy pontszerű töltés, akkor megoldása az egyenletnek a

egyenletnek, . A hullámegyenlet megoldása ezért

Alkalmazásként meghatározzuk egy nagyon kicsi (pontszerű) rezgő elektromos dipólus antenna elektromágneses terét. Az helyzetvektorú pontban lévő dipólmomentumú antenna sűrűségvektora, a polarizáció vektor , . A pontszerű töltés töltéssűrűségéhez hasonlóan most is a általánosított függvény segítségével fejezzük ki a dipólmomentumsűrűséget,

A dielektrikumok és a stacionárius áram tárgyalásánál kiderült, hogy a P dipóluseloszlás skalárpotenciálja töltéssűrűségével, vektorpotenciálja áramsűrűségével ekvivalens. Így a

hullámegyenleteket kell megoldanunk, a megoldás a két retardált potenciál:

Tudjuk, hogy , B rotA. Kissé hosszadalmas számolás adja a végeredményt:

p, , argumentuma mindenhol a retardált idő.

A megoldásban jól elkülöníthető három rész. E első két tagja (az első sor) a dipólus sztatikus elektromos tere. Ha p időfüggetlen, akkor csak ez van,

B 0, egy sztatikus dipólusnak nincs mágneses tere. E második két tagja (a második sor) és B első tagja a polarizációs áram elektromágneses tere. E utolsó két tagja (a harmadik sor) és B második tagja a gyorsuló dipólus által kisugárzott elektromágneses hullám. Legyen , (0, 0, , (0, 0, 0). Összehasonlítjuk az előbb felsorolt három rész nagyságrendjét:

Az egymás melletti értékek hányadosa , 500 m, 50 km esetén pl. a 600. A dipólushoz közel a sztatikus zónában az elektrosztatikus tér a domináns, a távoli hullámzónában az elektromágneses sugárzás. Utóbbiban (gömbi koordinátákban)

Látszik a kifutó gömbhullára jellemző -függés, E és B egymásra és r-re is merőleges. Az S energiaáramsűrűség vektor sugár irányú,

Az energiaszállítás nem izotrop, - függő. A dipólmomentum irányában ( 0) nincs energiasugárzás, az "egyenlítő" síkjában () maximális. Egy sugarú gömb felületén időegység alatt áthaladó energia átlagos (egy periódusra átlagolt) értéke:

A fényszórás olyan folyamat, amelynek során a porszemekre, vízcseppekre érkező elektromágneses hullám megrezgeti az ott lévő töltéseket, a rezgő töltések pedig újabb elektromágneses hullámokat sugároznak ki. Legyen S a bejövő hullám energiaáramsűrűség vektora, dU a töltésrendszer által a térszögbe 1 sec alatt kisugárzott energia. A szórás térszögre eső differenciális hatáskeresztmetszete

a felülvonás időre (egy periódusra) való átlagolást jelent. A teljes hatáskeresztmetszet , a térszög szerint kell integrálni.

Először az egyetlen szabad töltésen történő szórást vizsgáljuk a következő egyszerűsítő feltevések mellett:

1) a bejövő hullám mozgásba hozza a töltést, ennek sebessége (a töltés valamekkora tömegen pl. porszemen ül), ekkor a Lorentz-erő a Coulomb-erő mellet elhanyagolható, mert pl. síkhullámban .

2) a töltés az origó (r 0) körül rezeg, de mindig a térerősség origóbeli értékével számolunk.

Legyen , lineárisan poláros síkhullám. A töltés mozgásegyenlete:

dipólmomentuma p r, és . A rezgő töltés által keltett elektromágneses tér kifutó gömbhullám része:

argumentuma a retardált idő, . A kifutó energiaáramsűrűségvektor nagysága

Az egy periódusra átlagolt bejövő energiaáramsűrűség vektor

A differenciális hatáskeresztmetszet

a teljes hatáskeresztmetszet

ez a Thomson-hatáskeresztmetszet. A kifejezés neve klasszikus elektronsugár, de vigyázat, ez csak Gauss-mértékegységrendszerben távolság dimenziójú

Ha a bejövő elektromágneses hullám kis ( sugarú, relatív dielektromos állandójú) gömbön szóródik, akkor a dielektrikumoknál tárgyaltak szerint

9. 9 Geometriai optika

A geometriai optika a fényterjedést sugarakkal írja le. Vizsgáljuk az elektromágneses hullám terjedését izotrop inhomogén szigetelő közegben. A hullámegyenlet 0 alakú, itt (r) a helyfüggő terjedési sebesség, az E elektromos térerősség vagy a B mágnese indukció valamelyik derékszögű komponense. Az egyenlet időben periodikus megoldása , a

egyenletnek tesz eleget. Keressük ennek megoldását (r)) alakban. Az (r) neve eikonál (fényút), az állandó felület normálvektora jelöli ki a fényterjedés irányát az adott pontban. Síkhullámban állandó terjedési sebesség esetén nr. Ha (r) lassan változik, és közel lineáris r-ben, akkor közel síkhullám. A törésmutató definíciója , ahol a vákuumbeli hullámszám.

A 0 ( határesetben az egyenlet a

közelítő alakban írható, ez az eikonál-egyenlet. 0 (elterjedt) pongyola megfogalmazás, adott hullámhosszú fény terjedése során természetesen állandó, azt kell megmondanunk, hogy mihez képest kicsi. A közelítés során, amelyet itt nem részletezünk, bizonyos tagokat elhanyagolunk, az elhanyagolás feltételei a következőek:

1. , ahol a közegbeli hullámhossz.

2. Az állandó egyenlet által meghatározott hullámfelület görbületi sugara .

3. A hullámfront lineáris méretei (pl. gömbhullám esetén a gömb sugara) .

Az első feltétel nem érvényes pl. fény és árnyék határán (itt az intenzitás gyorsan változhat, grad nagy lehet), a második és harmadik feltétel nem érvényes fényforrások, fókuszok közelében.

Izotrop közegben a k hullámszámvektor a fénysugarak irányába mutat, merőleges az állandó felületekre. Ekkor az eikonál-egyenletből gyökvonással azt kapjuk, hogy .

Tetszőleges zárt görbére igaz, hogy .

Alkalmazzuk ezt egy olyan zárt görbére, amelynek AB szakasza a fénysugár egy darabja, B-ből A-ba pedig valamilyen tetszőleges görbén jutunk vissza.

A skalárszorzat tulajdonsága miatt igaz, hogy , ezért

az utolsó két integrálban a integrálási út a megfordítottja. Az első és utolsó integrál összehasonlítása szolgáltatja a Fermat-elvet: az optikai úthossznak nevezett integrál a fénysugár mentén minimális. Felhasználva, hogy , arra jutunk, hogy

és így terjedési idő minimális a fénysugár mentén.

Alkalmazásként a Fermat-elvből levezetjük a Snellius-Descartes-törvényt. Meghatározzuk, hogy az 1-es közeg P pontjától a két közeget elválasztó sík határfelület melyik P(,0) pontján keresztül vezet a legrövidebb fényút a 2-es közeg P pontjához. Annak kell teljesülnie, hogy

Ebből következik, hogy , ahol a beesési, a törési szög.