Elektrodinamika bsc ci laTeX




Download 3.04 Mb.
bet3/10
Sana24.03.2017
Hajmi3.04 Mb.
#2074
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
2. 2 Elektrosztatika

Az elektrosztatika egyenleteit úgy kapjuk, hogy a Maxwell-egyenletekben az áramsűrűség és az időderiváltak helyébe zérust írunk:



.

Látható, hogy nincs kapcsolat az elektromos és mágneses mező között, az elektrosztatika és a magnetosztatika egymástól függetlenül tárgyalható. Az elektrosztatika integrális egyenletei:

Ezek akkor használhatók jól, ha a feladat valamilyen szimmetriát mutat, ilyenkor az integrálok könnyen kiszámíthatóak, általános esetben a differenciális egyenleteket kell megoldanunk a határfeltételekkel. Példaként meghatározzuk az egyenletesen töltött gömb elektromos terét.

Legyen az sugarú gömb össztöltése , a töltéssűrűség ekkor . A gömbszimmetria miatt a térerősség csak a gömb középpontjától mért távolság, függvénye, E E(r). Kényelmes a gömbi koordináták használata, az egyenletet a gömb egy tetszőleges hosszúsági, ill. szélességi körére alkalmazva azt kapjuk, hogy , ill. . Az első integrális egyenletet egy sugarú gömbre oldjuk meg, két esetet kell megkülönböztetnünk:

Emlékezzünk vissza a mechanikára, éppen ilyen szerkezetű egy homogén tömegeloszlású gömb gravitációs tere.

Szimmetria híján a rot E 0, egyenleteket kell térrészenként megoldanunk. Mivel rot E 0, E felírható egy skalárfüggvény gradienseként,

E grad, az elektrosztatikus vagy skalár potenciál. Megjegyezzük, hogy mint a mechanikában az erőt, itt is ( gradienseként írjuk fel E-t, az egységnyi töltésre ható erőt. Ez a választás vezet az energiamegmaradás olyan alakjára, hogy a mozgási és helyzeti energia összege állandó. A második egyenletbe helyettesítve E grad -t kapjuk a Poisson-egyenletet: (a -operátor derékszögű koordinátákban a másodrendű parciális deriváltak összege)

A Poisson-egyenletet is térrészenként kell megoldani, és a megoldásokat össze kell illeszteni az

határfeltételek segítségével. A potenciálkülönbség fizikai jelentése az egységtöltésen az elektromos térerősség által végzett munka:

Az helyzetvektorú pontban lévő ponttöltés elektromos tere az r helyzetvektorú pontban:

A Maxwell-egyenletek lineárisak, azaz változók elsőtől különböző hatványait és különböző változók szorzatait sem tartalmazzák, így alkalmazható rájuk a szuperpozíció elve, amely szerint megoldások összege (tetszőleges lineáris kombinációja) is megoldás.

Egy tetszőleges töltéseloszlás elektromos tere úgy kapható meg, hogy a kis térfogatokban lévő töltések elektromos tereit összeadjuk, azaz integráljuk:

Megmutatható, hogy ez az megoldása a Maxwell-egyenleteknek. Szavakkal kifejezve:

elektrosztatika Coulomb-törvény szuperpozíció.

Az előzőekhez hasonlóan egy ponttöltés potenciálja:

egy töltéseloszlás potenciálja:

Megmutatható, hogy ez a kielégíti a Poisson-egyenletet.

Ha le tudnánk írni egy ponttöltés töltéssűrűségét, akkor az általános képletből is megkaphatnánk a ponttöltés potenciálját. A keresett töltéssűrűség olyan, hogy a ponttöltés helyén kívül mindenhol 0, ott viszont végtelen, mert 0 térfogattal kell osztanunk. Ilyen függvény nincs. A matematikusok ezért bevezették az általánosított függvény fogalmát, amelyet egy, a megszokott reguláris függvények alkotta sorozat határfüggvényeként értelmeztek. A Dirac-ról elnevezett - függvény olyan Gauss-függvények (haranggörbék) határfüggvénye, amelyeknek a teljes értelmezési tartományra vett integrálja 1, szélességük 0-hoz, ezért maximális értékük -hez tart. A definíció szerint így (r dV 1. Az helyzetvektorú ponttöltés töltéssűrűsége (r , (r dV . Tetszőleges (r) függvényre igaz, hogy (r dV .

Legyen töltés a derékszögű koordinátarendszer (0, 0, /2) pontjában, töltés a

(0, 0, /2) pontban. Ha kicsi a megfigyelési pont és a kezdőpont távolságához képest, akkor a két ponttöltés együttes potenciálja az egyes töltések potenciáljainak / szerinti sorfejtésével a következő alakra hozható:

Itt p a két töltés dipólmomentumvektora, , a vektor a negatív töltéstől a pozitív felé mutat. A kis dipólus térerősségvektora:

Legyen adott valamilyen töltéseloszlás, szeretnénk meghatározni ennek közelítő potenciálját nagy távolságban. A koordinátarendszer kezdőpontját a töltésekhez közel vesszük fel, a töltés helyzetvektora legyen , a potenciálponté R, a töltéstől a potenciálponthoz mutató vektor . A töltésrendszer össztöltése , eredő dipólmomentuma definíció szerint (Belátható, hogy két ellentétes töltés esetén ez a defíníció visszaadja a p d dipólmomentumot.)

1. közelítés: esetén ,

a kezdőpontban lévő töltés potenciáljával egyenlő.

2. közelítés: , ,

a kezdőpontban lévő töltés és p dipólmomentum potenciáljával egyenlő.

A zárójelbeli ...az elhanyagolt, -ben magasabbrendű tagokra utal. A kapott eredmény az ún. multipólus sorfejtés első két tagja.

A vezetők olyan szilárd testek, amelyek sok szabad elektront tartalmaznak. Ezek az egyes atomok "külső" elektronjai, nem kötődnek szorosan atomjaikhoz, elektromos erőtér hatására mozgásba jöhetnek. Így elektrosztatikailag csak az lehetséges, hogy a vezető belsejében E 0, a vezető külső felületén E merőleges a felületre, amely ezért ekvipotenciális felület kell legyen. A vezető belsejében divE is 0, ezért a térbeli töltéssűrűségnek is 0-nak kell lennie. Ezt úgy kell érteni, hogy nem atomi méretekben vizsgálódunk, nem megyünk olyan "közel" a protonokhoz és elektronokhoz, hogy érezzük azok elektromos terét, hanem átlagolunk olyan, nagyon kis tartományokra, amelyek még mindig nagyon sok protont és elektront tartalmaznak. Azt mondhatjuk, hogy makroszkópikus elektrodinamikával foglalkozunk.

Megvizsgáljuk, hogyan változik a vezető belsejébe vitt töltés időben. Az Ohm-törvény szerint j E, az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy állandó. A kontinuitási egyenletet átalakítjuk:

ennek megoldása

.

A töltéssűrűség tehát a relaxációs idő alatt -ed részére csökken, szokás azt mondani, hogy a töltések "kiülnek" a vezető felületére. Vezetőkre kicsi, pl. rézre A/Vm, s. (Szigetelőkre , állandó.)

Lehet-e elektromos erőtér a vezető belsejében lévő üres üregben? Vegyük körül az üreget egy olyan zárt felülettel, amelynek minden pontja a vezetőben van, tehát a felületen E 0. Erre a felületre , ami azt jelenti, hogy az üregben az össztöltés 0. Lehetséges-e, hogy az üreg határán, a vezető belső felületén egyenlő számban vannak pozitív és negatív töltések? Tegyük fel, hogy így van, és rajzoljunk meg az üregben egy olyan erővonalat, amely egy pozitív töltésből indulva egy negatív töltésben végződik. Egészítsük ki ezt az erővonalat zárt görbévé egy a vezetőben haladó szakasszal. E zárt görbére . Az integrálhoz a vezető belsejében haladó szakasz nem ad járulékot, mert ott E 0, az erővonal járuléka viszont nem lehet 0, mert ez azt jelentené, hogy munkavégzés nélkül mozgathanánk töltést a pozitív töltésből a negatívba. Töltések tehát az üreg falán sem lehetnek. A vezető belsejében lévő üreget szokás Faraday-kalitkának nevezni, ez megvédi pl. az űrhajósokat a lehetséges külső elektromos tértől.



Download 3.04 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Download 3.04 Mb.