• 2. Funksiya ekstremumlari. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
  • Funksiyaning o`sish va kamayish shartlari




    Download 110,17 Kb.
    bet2/8
    Sana17.05.2024
    Hajmi110,17 Kb.
    #239115
    1   2   3   4   5   6   7   8
    Bog'liq
    Funksiyani hosila yordamida to`la tekshirish va uning grafigini -fayllar.org

    1 - Teorema. V oraliqda differensiallanuvchi f(x) funksiya shu oraliqda o`suvchi (kamayuvchi) bo`lishi uchun, oraliqning har bir ichki nuqtasida P(x) hosilaning musbat (manfiy) bo`lishi yetarli.
    X oraliqqa tegishli har qanday x1 va x2 nuqtalar qaralmasin, [x1;x2] kesmada f(x) funksiya uchun Lagranj teoremasi o`rinli, ya`ni, f(x2) - f(x1) = f(c) (x2 - x1), bu yerda x1 < x2 va с € (x1;x2). Tenglikdan, agar f(c) > 0 bo`lsa, f(x2) > f(x1) va funksiya o`suvchi, agarda f(c) < 0 bo`lsa, f(x2)< f(x1) va funksiya kamayuvchi ekanligi kelib chiqadi.

    Funksiya monotonlik alomatlarining geometrik izohi 1 rasmlarda keltirilgan.

    a) f ′(c1) = tga1>0b) b) f ′(c2) = tg a2 < 0

    1 - rasm.


    у = f(x) funksiya grafigiga o`tkazilgan urinmalar X oraliq ichki nuqtalarida OX o`qi musbat yo`nalishi bilan o`tkir burchak hosil etsa, funksiya o`suvchi, o`tmas burchak hosil qilsa kamayuvchidir.
    Masala. у = x- e-2x funksiyani monotonlikka tekshiring.
    Berilgan funksiya R da aniqlangan va har bir x€R nuqtada y`(x) = e-2x · (1 - 2x) hosilaga ega bo`lib, differensiallanuvchidir. Agar x < 1/2 bo`lsa, y`(x) > 0 bo`lib, funksiya o`suvchi, agarda x > 1/2 bo`lsa, y(x)
    Demak, у = х·е-2х fijnksiya (-∞; l/2) oraliqda monoton o`suvchi, (l/2; ∞) oraliqda esa monoton kamayuvchidir.
    Masala. f(x) = x-arctgx fiinksiyaning sonlar o`qida o`suvchi ekanligini isbotlang.
    f ` (x) = (x-arctgx)` = 1 - 1/1+x2 bo`lib, har bir x€R uchun, f `(x) > 0. Demak, funksiya R da monoton o`suvchi.

    2. Funksiya ekstremumlari. Ekstremumning zaruriy va yetarli shartlari
    у = f(x) funksiya x0 nuqtaning biror δ atrofida aniqlangan bo`lib, x0 nuqtada uzluksiz bo`lsin.
    Agar barcha x€(x0-5; x0) U (x0;x0+δ) nuqtalar uchun f(x)0) (f(x)>f(x0)) tengsizlik o`rinli bo`lsa, x0 f(x) funksiyaning qat`iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi. (2 a - rasm).
    Agarda har bir x€(x0-5;x0) U (x0;x0+δ) uchun f(x) < f(x0) (f(x)>fl;x0)) tengsizlik bajarilsa, u holda x0 f(x) funksiyaning noqat`iy maksimum (minimum) nuqtasi deyiladi (2 b - rasm).
    Funksiyaning qat`iy va noqat`iy maksimum va minimum nuqtalariga, uning lokal (mahalliy) xarakterdagi ekstremum nuqtalari deyiladi.
    Agar x0 f(х) funksiyaning maksimum nuqtasi bo`lsa, u holda x0 nuqtaning qaralayotgan 6 atrofida Δf(x0) = f(x) - f(x0) < 0 (Δf(x0) < 0) munosabatlar o`rinli bo`ladi. Agarda x0 f(x) funksiyaning minimum nuqtasi bo`lsa, unda Δf(x0) > 0 (Δf(x0) > 0) tengsizliklar bajariladi.


    Download 110,17 Kb.
    1   2   3   4   5   6   7   8




    Download 110,17 Kb.

    Bosh sahifa
    Aloqalar

        Bosh sahifa



    Funksiyaning o`sish va kamayish shartlari

    Download 110,17 Kb.