A\B= {x¦xA, xB } AB= {x| xA, xB}{xxA, xB}
5-TA’RIF: B to’plam A ning qism to’plami bo’lganda A\B to’plam B ni A gacha to’ldiruvchi to’plam deyiladi va u yoki CAB orqali yoziladi.
B= {1,2,3} A= {1,2,3,4,5} CAB= {4,5}
Yuqoridagi ta’rifga asosan bo’ladi. Agar A to’plam boshqa to’plamning xos qism to’plami deb qaralmasa, u xolda uning to’ldiruvchisi bo’lib, ning to’ldiruvchisi esa A bo’ladi.
6-TA’RIF: Xar qanday to’plamning xos qism to’plami deb qaralmagan to’plam universial to’plam deyiladi va u orqali belgilanadi.
7-TA’RIF: A to’plam elementlarini birinchi, B to’plam elementlarini ikkinchi qilib tuzilgan barcha juftliklar to’plami A va B to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deyiladi va u AXB orqali belgilanadi.
universal to’plami to’g’ri to’rtburchak bilan va uning xos qism to’plamlarini shu to’rtburchak ichidagi doiralar bilan tasvirlanishini qabul qilamiz. Bu xolda to’rtburchakning shitrixlangan bo’lagi A qism to’plam bo’lsa, shitrixlanmagan bo’lagi A to’ldiruvchi to’plam bo’ladi.
Bundan A=A ekanligi ravshan.
CBA=CAB CAU=CA A∆B=B∆A
1. AB=BA, AB=BA
2. (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC)
3. A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC)
4. AB
5. AU=U
6. AU=A
7. A=A
8. =U,
9. n(A)deb A to’plamning elementlarini belgilaymiz. U xolda
n(AB)qn(A)Qn(B)-n(AB
Odatda chekli va chiksiz to’plamlarni farq qiladilar. Matematikada ko’pincha cheksiz to’lamlar bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi.
Masalan, natural sonlar to’plami, uzluksiz funktsiyalar to’plami bular cheksiz to’plamidir.
Endi ikkita chekli A va B to’plam berilgan bo’lsin. Ularning elementlar soniga qarab solishtiriladi. Masalan: studentlar va stunlar soni.
1-TA’RIF. Agar A va B to’plamlar orsida o’zaro bir qiymatli musabat mavjud bo’lsa, u holda bu to’plamlar ekvivalent yoki teng quvvatli to’plamlar deyiladi va A→B deb yozladi.
Odatda A to’plamga ekvivalent bo’lgan to’plamlar sinfi bilan belgilanadi va ni A to’plamning quvvati yoki kardinal soni deb ataladi. Chekli to’plamning quvvati sifatida to’plam elementlarning soni olinadi.
Masalan:
Chekli to’plamlar uchun quyidagilarni qayd qilamiz.
1) yoki yoki
2) Agar {1,2,3,…,n}qN desak, u holda
N1, N2, Nn,… (1)
To’plamlar barcha chekli “etalhon” to’plamlarni beradi, ya’ni ixtiyoriy chekli to’plam (1) ning birotasiga ekvivalent bo’ladi.
3)
Yuqoridagi xossalar cheksiz to’plamlar uchun ko’rib o’tishdan avval quyidagilarni o’rganamiz. Ixtiyoriy to’plamlarning quvvatlarini solishtirish uchun quyidagi ta’rifni kiritamiz.
2-TA’RIF: Quvvatlari A=, B= bo’lgan A va B to’plamlar berilgan bo’lsin. Agar A va B lar ekvivalent bo’lmasa va B da A ga ekvivalent B qism mavjud bo’lmasa, u holda B ninig quvvati A ning quvvatidan katta deyiladi > va yoki < deb yoziladi.
Cheksiz to’plamlarning eng soddasi natural sonlar to’plamidir.
1-Ta’rif. Natural sonlar to’plam va unga ekvivalent bo’lgan to’plamlar sanoqli to’plamlar deyiladi. Aks holda sanoqsiz to’plamlar deyiladi .
Misollar: 1)Chekli to’plamlar sanoqli.
Teorema.1. Chekli yoki sanoqli to’plamlarning soni chekli yoki sanoqli birlashmasi ham chekli yoki sanoqli to’plamdir.
Teorema.2. Har kanday cheksiz to’plamning sanoqli to’plamdan iborat qismi mavjud.
Teorema .3. Ratsional sonlar to’plami sanoqli .
Teorema .4. (0,1) segmentlarning nuqtasidan iborat to’plam sanoqsizdir.
Isbot. Eq[0,1] segmentning nuqtalaridan iborat to’plam sanoqli deb faraz qilaylik. U holda E to’plamning barcha elementlarini nomerlab chiqish mumkin.
E={x1, x2 ,…, xn} {1,2,…,n,…}
E ni 1/3 va 2/3 nuqtalar bilan uchta teng segmentga bo’lamiz.
[0; 1/3], [1/3; 2/3], [2/3; 1]
Ravshanki, X1 element bir vaqtda bu uchala segmentning xar biriga tegishli bo’la olmaydi. Demak, ularning kamida bittasiga kirmaydi. O’sha segmentni E1 bilan belgilaymiz. Endi E1 ni uchta teng segmentga bo’lamiz.Bu segmentlarning kamida bittasiga x2 nuqta kirmaydi: O’shani E2 bilan belgilaymiz. E2 o’z navbatida yana uchta teng segmentga bo’lamiz va xakozo.
Natijada biri ikkinchisining ichiga joylashgan
Segmentlar ketma-ketligiga ega bo’lamiz.Bu to’plamlar yasalishiga ko’ra nuqta ga kirmaydi. segment uzinligi bo’lib, n ortganda nolga intiladi.Limitlar nazariyasiga asosan segmentlarning barchasiga kiruvchi birgina y nuqta mavjud:
Bu nuqta E To’plamga tegishli bo’lgani uchun (1) ketma-ketlikda mavjud, ya’ni shunday m topiladiki, bu m uchun bo’ladi. Ikkinchi tomonda
munosabatlardan kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik teoremani isbotlaydi.
TA’RIF. [0,1] segmentdagi nuqtalar to’plamiga ekvivalent bo’lgan to’plamlarni kontinuum quvatli to’plam deyiladi.
5- TEOREMA. [a,b] segment sanoqsiz to’plam, kontinuum quvatga ega.
ISBOT. Xaqiqattan, agar [a,b] segmentning o’zgaruvchisi elementini z bilan [0,1] segmentning o’zgaruvchi elementini x bilan belgilasak, u holda
.
almashtirish bu segmentdagi nuqtalar to’plami kontiniym quvvatga ega.
6- TEOREMA. [a,b] yoki (a,b], (a,b) kontinum quvvatga ega.
Isbotini mustaqil bajaring.
AKSLANTIRISh VA ULAR USTIDA AMALLAR
Akslantirishlar (funktsiyalar) tushunchasi matematika fani uchun eng muxim tushunchalardan biridir.
1-TA’RIF: Agar A to’plamning biror x elementlari uchun biror qonun qoida bilan B to’plamning y elementi mos keltirilsa, u xolda bu qonun yoki qoida x ni y ga akslantirish deyiladi va u f deb belgilanadi.
Bu ta’rif quyidagicha qabul qilingan:
Yqf(x) yoki f: ; bunda A to’plam f akslantirishning aniqlanish soxasi deb yuritiladi. yqf(x) shartni qanoatlantiruvchi (x,y) juftliklar to’plami esa funktsiya grafigi deyiladi. (akslantirish grafigi deyiladi)
2 -TA’RIF: Agar A=B bo’lsa, f akslantirish to’plamni o’z-o’ziga akslantiruvchi almashtirish deyiladi.
F:A B akslantirishda x A ga mos keluvchi B To’plam elemrnti f(x) deb belgilanadi va x ning obrazi (tasviri) deyiladi. X- esa asli (proobrazli) deyiladi.
Ta’rifga asosan ixtiyoriy x yagona f(x) tasvirga ega, lekin B ning ixtiyoriy elementi xar doim songa ega bo’lavermaydi.
Misol: 1) A- odamlar To’plami: B- musbat ratsional sonlar To’plami bo’lsin. F:A B munosabat xar bir odamga uning santimetr bilan xisoblangan bo’yini mos qo’yilishi. Eni 2000 sm ga mos keluvchi odam yuq. 175 sm ga mos odamlar bitta emas. 2) F:A moslikni qurib turishi mumkin.
3-TA’RIF: Agar B to’plamning xar bir elementi asliga ega bo’lsa, u xolda f:A B akslantirish syurektiv (utsiga) akslantirish deyiladi.
f:x -syurektiv akslantirish.
4-TA’RIF:Agar B to’plamning xar bir y elementi bittadan ortiq asliga ega bo’lmasa bunday f:A akslantirish inektiv (ichiga) akslantirish deyiladi.
Bunda
5-TA’RIF: Agar f:A B akslantirish bir vaqtning o’zida syurektiv va inektiv bo’lsa, bunday akslantirishga biektiv akslantirishlar dwyiladi.
A va B chekli To’plamlar uchun n(A) n(B), da syurektiv, n(A) n(B), da inektiv, n(A)q n(B), da biektiv akslantirish deyiladi.
n(A)- bunda A To’plam elementlar soni.
Masalan: Odamlar 50000 bo’lsin –A. 20000 gacha bo’lgan ratsional sonlar to’plami –B n(A)>n(B)
6-TA’RIF: x A, f: A B, A bo’lsin. F(x) tasvirlarning {f(x)} To’plamiga A1 To’plamning f akslantirishdagi tasviri deyiladi va u f(x) orqali belgilanadi.
7-TA’RIF: Agar bo’lsa, B To’plamning tula asli deb ga kiruvchi barcha elementlar asllarining To’plamiga aytiladi u f-1(B) orqali belgilanadi.
fq Dom fq {x( shunday y mavjudki, uning uchun (x,y) (F}
(fq infY) (shunday x mavjudki, uning uchun (x,y)(f} to’plamlar mos ravishda funktsiyaning aniqlanish va qiymatlar soxasi deb yuritiladi.
8-TA’RIF: A To’plamning xar bir x elementini yana shu x elementga o’tkazuvchi (akslantiruvchi ) akslantirishga ayniy akslantirish deyiladi va
A : A A orqali belgilanadi.
Endi akslantirishlar kompozitsyasi (superpozitsiyasi- yani ko’paytmasi) xaqida tuxtab utamiz.
Faraz qilaylik A,B va C To’plamlar berilgan bo’lsin. Ular uchun f:A B va G:B C lar urnatilgan bo’lsin.
Mazkur akslantirishlar yordamida A ni c ga utkazuvchi H akslantirishni tuzish mumkin. Buning uchun A ning xar bir x eelementiga f(x) B ni x quyamiz. Xar bir f(x) ga esa C To’plamning g f(x)) elementini mos quyamiz. Bu ko’paytma deyiladi.
TEOREMA: f:A B akslantirish teskarilanuvchi bulishi uchun bu akslantirish o’zaro bir qiymatli (biektiv ) bulishi zarur va kifoya.
Muxokama uchun savollar:
1.1. To’plam quvvati tushinchasini ayting
1.2. Sanoqli va sanoqsiz to’plamni izoxlang
1.3. Akslantirishni turlarini ayting.
1.4. Binar munosabat turlarini izoxlang.
2-savol bo’yicha dars maqsadi:
1. Xalqa va algebrani tushintirish
Identiv o’quv maqsadi:
1. Xalqani tushintira oladi.
2. Algebrani tushintira oladi.
2 - savol bayoni:
To’plamlar sistemasida aniqlangan haqiqiy funktsiya to’plam funktsiyasi deyiladi.Quyida biz ba’zi bir xossalarga ega bo’lgan
to’plamlar sistemasini qaraymiz.
1- ta’rif. Agar N sistemaning istalgan ikkita A va B
elementi uchun va munosabatlar o’rinli bo’lsa, u holda N sistema to’plamlar xalqasi deyiladi.
2- ta’rif. Agar N to’plamlar sistemasining biror E
elementi va shu sistemaning istalgan A elementi uchun tenshlik o’rinli bo’lsa , u holda E element N sistemaning birlik elementi deyiladi.
3- ta’rif. Birlik elementga ega bo’lgan N xalqa to’plamlar alebrasi ( qisqacha algebra ) deyiladi.Quyidagi teoremma xalqa a’rifidan kelib chiqadi.
1- teorema. Istalgan sondagi xalqalar sistemasining ko’paytmasi xam xalqadir.
2- teorema. Xar qanday N to’plamlar sistemasi uchun shu
sistemani o’z ichiga olgan yagona minimal xalqa mavjud .
4-ta’rif. N to’plamlar sistemasi uchun va xar qanday va uchun bo’lib, shu sistemaning A va A elementlari A A munosabatni qanoatlantirganda N sistemadan o’zaro kesishmaydigan soni chekli A , A ,……. A elementlar topilsaki,ular uchun tenglik o’rinli bo’lsa, u holda N sistema yarim halqa deyiladi.
3- teorema. N yarim halqani o’z ichiga olgan minimal halqaning har bir A elementi N yarim halqadan olingan soni chekli o’zaro kesishmaydigan A , A , .. , A to’plamlarning yig’indisidan ibograt , ya’ni har bir A ushbu ko’rinishga ega: , , ,
5- ta’rif.Agar N to’plamlar xalqasida nq1,2,3… munosabatdan munosabat kelib chiqsa, bunday xalqa xalqa deyiladi.Birlik elementga ega bo’lgan v-xalqa valgebra deyiladi.
6-ta’rif Agar N to’plam xalqasida munosabatdan munosabat kelib chiqsa, bunday xalqa v xalqa deyiladi.
4- teoremma. Xar qanday ikki A va B tuplam uchun quyidagi ayniyatlar o’rinli:
1.
2.
3.A\B=
4.CA
5.B=( 5-teoremma. Har qanday xamda to’plamlar uchun ushbu
1.
2.
Muxokama uchun savollar:
2.1. Xalqa deb nimaga aytiladi?
2.2. Algebra deb nimaga aytiladi?
2.3. Xalqa va algebra xossalarini ayting.
2.4. Minimal algebrani xosil qiling.
Ma’ruzaga oid ilmiy muammolar:
Agar M to’plamning quvvati a ga teng bo’lib, M ning qism to’plamlaridan tuzilgan N to’planing quvvati b ga teng bo’lsa, u holda b quvvat a dan katta ekanligi isbot etildi.
Endi quvvati b dan kichik, lekin a dan katta bo’lgan R to’plam mavjudmi, degan masala kelib chiqadi. Bu fanda kontinuum muammosi deb ataladi. Bu muammo fanda hal etilgan emas.
II. Amaliy mashg’ulot To’plam nazariyasining elementlariga doir misol va
masalalarni yYechish
Ajratilgan vaqt 8- soat
Dars maqsadi.
1. Sanoqli va sanoqsiz to’plamlarni misollar yYechish bilan o’rganish.
2. Xalqa va algebrani tushintirish.
Identiv o’quv maqsadi:
1. Sanoqli va sannoqsiz to’plamning kuvvatini aniklaydi.
2. Binar munosabatlarni tushintira oladi.
3. Xalqa va algebraning farkini ajrata oladi.
|
