1 - savol bayoni:
To’plam ta’riflanmaydigan matematik tushuncha bo’lib ba’zi bir narsalar, buyumlar, ob’ektlarni birgalikda qarash natijasida vujudga keladi.
Masalan barcha natural sonlarni birgalikda qarash natural sonlar to’plamini, to’g’ri chiziqda etuvchi nuqtalarni birgalikda qarash shu to’g’ri chiziq nuqtalari to’plamini beradi.
1-TA’RIF: To’plamni tashkil etuvchi ob’ektlar shu to’plamning elementlari deyiladi.
To’plamlar odatda lotin yoki grek alifbosining bosh xarflari bilan, ularning elementlari esa shu alifboning kichik xarflari bilan belgilanadi.
Agar A To’plam a, b,c, . . . elementlardan tuzilgan bo’lsa, u A= { a,b,c, …} ko’rinishda yoziladi. To’plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz to’plam bo’ladi.
2-TA’RIF: A to’plamning xar bir elementi B to’plamda mavjud bo’lsa va aksincha B to’plamning xar bir elementi A to’plamda mavjud bo’lsa, A va B to’plamlar o’zaro teng (bir xil) deyiladi va bu to’plamlarning tengligi A=B (1) orqali belgilanadi.
Bu ta’rifdan ko’rinadiki, ikkita to’plamning tengligi aslida ularning bitta to’plam ekanligini bildiradi.
Masalan:
A= {2,5}, B= {x¦ x2- 7x+10 =0} bo’lsa A=B
A-tekislikdagi teng tomonli uchburchaklar to’plami, B-shu tekislikdagi ichki burchaklari teng bo’lgan barcha uchburchaklar to’plami bo’lsa, o’z-o’zidan ma’lumki, A=B bo’ladi.
3-TA’RIF: B to’plamning xar bir elementi A to’plamda mavjud bo’lsa, B to’plam A to’plamning qism to’plami deyiladi va B ning qism to’plam ekanligi BA ko’rinishda belgilanib, belgi saqlanishlik belgisi deb yuritiladi.
Agar A,B,C to’plamlar bitta to’plamning qism to’plamlari deb qaralsa, u xolda saqlanishlik munosabati quyidagi asosiy xossalarga ega:
a) AA
b) AB va BA bo’lsa, u xolda A=B
v) AB va BC dan AC ekanligi kelib chiqadi.
4-TA’RIF: B to’plamning barcha elementlari A to’plamda mavjud bo’lib, shu bilan barcha A da yana B ga tegishli bo’lmagan elementlar xam mavjud bo’lsa, B to’plam A to’plamning xos qism to’plami deyiladi.
Xos qism to’plam BA (2) orqali belgilanadi.
5-TA’RIF: Birorta ham elementga ega bo’lmagan to’plam bo’sh to’plam deb ataladi va u orqali belgilanadi.
6-TA’RIF: A to’plamning o’zi va to’plam shu A to’plamning xosmas qism to’plami deyiladi.
A va B to’plamlarning tengligini isbotlash uchun AB va BA ekanligi ko’rsatiladi.
Biror A to’plam B to’plamning qism to’plami ekanligini isbotlash degan so’z A ning ixtiyoriy elementi B ga tegishli ekanligini ko’rsatish demakdir.
Tegishlilik va saqlanishlik munosabatlari bir-biridan farq qiladi. Masalan, tegishlilik munosabati uchun saqlanishlik munosabatining biz yuqorida ko’rib o’tgan uchta xossasi bajarilmaydi.
Eslatma: Natural, butun, ratsional va xaqiqiy sonlar to’plamlarini mos ravishda N,Z,Q va R orqali belgilaylik. Unda mazkur to’plamlar uchun NZQR munosabatlar o’rinlidir.
Isalgan n ta elementli to’plamning barcha qism to’plamlari soni 2n ga teng. Bu tasdiqni matematik induktsiya printsipi asosida isbotlash mumkin.
1-TA’RIF: A va B to’plamlarning kamida bittasiga tegishli bo’lgan barcha elementlardan tuzilgan C to’plam shu to’plamlarning birlashmasi deyiladi va AB ko’rinishda belgilanadi.
Yuqoridagi ta’rifga ko’ra C to’plamni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
C = A B = {x¦xA yoki xB}
To’plamlar birlashmasi tushunchasini itsalgan chekli sondagi to’plamlar uchun xam kiritish mumkin.
n ta A1, A2,…, An to’plamining birlashmasi
ko’rinishda yoziladi.
2-TA’RIF: A va B to’plamlarning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan C to’plam shu to’plamlar kesishmasi deyiladi va u AB ko’rinishda belgilanadi.
Misol: A= {1,3,5,7} , B= {1,2,3,4,5,6} bo’lsa, u xolda
AB= {1,3,5} bo’ladi. n ta to’plamning kesishmasi
ko’rinishda yoziladi.
3-TA’RIF: A to’plamdan B to’plamning ayirmasi deb A ga tegishli, lekin B ga tegishli bo’lmagan barcha elementlardan tuzilgan to’plamga aytiladi va u AB ko’rinishda belgilanadi.
Misol: A= {1,3,5,7}, B= {1,2,3,4,5,6}
A\B ={7}
B\A= {2,4,6}
4-TA’RIF: A ning B da xamda B ning A da bo’lmagan elementlari to’plami shu to’plamlarning simmetrik ayirmasi deyiladi va u AB ko’rinishda belgilanadi.
Misol: A= {1,3,5,7}, B= {1,2,3,4,5,6} bo’lsa,
AB= {2,4,6,7} bo’ladi.
A va B to’plamlarning ayirmasi va simmetrik ayirmasini mos ravishda quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
|
