Faraz qilaylik, y(xi) – yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining xi tugundagi yechimi, yi – Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugund- agi toʻr yechimi boʻlsin. Ushbu
i = y(xi) – yi , i = 0, 1, …, N (26) miqdor toʻr yechimning xi tugundagi xatoligi, ushbu
i=y(xi) – yi , i = 0, 1, …, N (27) miqdor toʻr yechimning xi tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.
Shunday savol tugʻiladi, toʻr qadami nolga intilganda (27) miqdorlar ham nolga intiladimi:
h0 da
max
i
i0,1,...,N
0 , (28)
yani toʻr cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga intiladimi?
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning oʻng tarafi- dagi f funksiyaga shunday qoʻshimcha shart qoʻyishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli boʻlgan yechimi [ x0, x0+ L] kesmada mavjud, yagona va silliq boʻlsin. Aynan shunday deb oʻylaylikki, f funksiya x, y oʻgaruvchilar juftligi tekisligidan x0 x x0+ L tengsizlik bilan olingan kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan boʻlishi ham lozim:
f( x, y) M1, barcha x [ x0, x0+ L] va y R lar uchun. (29) Bundan tashqari, oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qoʻyish bilan birga biz tenglamaning oʻng tarafidagi f funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi oʻzgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qoʻygan
boʻlamiz:
fx( x, y) M2, barcha x [ x0, x0+ L] va y R lar uchun. (30)
fy( x, y) M3, barcha x [ x0, x0+ L] va y R lar uchun. (31) (29)-(31) formulalardagi M1, M2, M3 oʻzgarmaslar kenglikning barcha
nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik, yi , yi+1 – Eylerning oshkor usuli bilan xi , xi+1 tugun- larda topilgan toʻr yechimlar, y(i) – (1) differensial tenglamaning grafigi ( xi
, yi) nuqtadan oʻtuvchi yordamchi yechimlari (yaʼni (15)-(16) Koshi masa- lasining yechimlari) boʻlsin.
y(i) yordamchi yechimning xi+1 tugundagi y(i)( xi+1) qiymati uchun toʻr yechimning ushbu
i+1 = y(xi+1 ) – yi+1
xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:
i+1 = (y(xi+1) – y(i)(xi+1))+
+( y(i)(xi+1) – yi+1), yaʼni uni ikkita qoʻshi- luvchilar yigʻindisi shaklida yoza olamiz:
(1) ( 2) , (32)
|
|