y
xi
f ( x, y( x)) dx
xi1
xi
f ( x, y( x)) dx
xi1
xi
f ( x, y( x)) dx
xi1
M
xi
3dx M3
xi1
y
y
munosabatlar zanjiridan va eksponentaning monoton oʻsuvchi funksiya ekanligidan kelib chiqadi:
Shunday qilib, (40) va (49) baholashlarni ketma-ket qoʻllash bilan Eyler oshkor usulining yaqinlashuvchanligini oʻrnatish mumkin.
1-teorema. Quyidagi tengsizlik oʻrinli:
i C(M1, M 2 , M3 ) h,
i 0,1,..., N,
(50)
bu yerda C – oʻzgarmas boʻlib, (29)-(31) shartlardagi M1, M2, M3
oʻzgarmaslar va L – integrallash kesmasining uzunligi orqali topiladi.
Isbot. x0 tugundagi toʻr yechimning xatoligi uchun quydagi tenglik oʻrinli:
0 0 .
x1 tugunda jamlangan xatolik boʻlmaydi, shuning uchun (40) ga koʻra quyidagini yoza olamiz:
1
1
(2)
Mh2 .
x2 tugundagi xatolik uchun (40) va (49) larni e’tiborga olib quyidagiga ega boʻlamiz:
(1) (2)
(1)
(2)
exp( M
h)
2 2 2 2 2 3 1
3 3
exp(M h) Mh2 Mh2 (exp(M h) 1) Mh2 .
Xuddi shunday, x3 tugun uchun quyidagi tengsizlikka ega boʻlamiz:
(1) (2)
(1)
(2)
exp( M
h)
3 3 3 3 3 3 2
exp( M3h) (exp( M3h) 1) Mh2 Mh2 (exp(2 M3h) exp( M3h) 1) Mh2 .
Endi oydinki, munosabatlani xuddi shunday davom ettirib, quyidagi tengsizlikka kelamiz:
3 3 3 3
i
exp((i 1)M h) exp((i 2)M h) ... exp(2 M h) exp(M h) 1 Mh2
Hosil qilingan bu tengsizlikning oʻng tarafidagi qavs ichida chekli ge-
ometrik progressiyaning hadlari yigʻindisi yozilgan boʻlib, uning maxraji q
= exp(M3h) ga teng. Bu yigʻindi uchun quyidagi ifodadan foydalanamiz:
1 qi
1 exp(i M h) exp(i M h) 1
3 3 .
1 q
1 exp(M 3h) exp(M 3h) 1
Bu yerdan esa quydagi tengsizlikni hosil qilamiz:
exp(i M 3h) 1 Mh2 .
i exp(M h) 1
3
(51)
Shuni taʼkidlaymizki, progressiya hadlarining yigʻindisi formulasida surat va maxrajning musbatligini taʼminlash uchun qoʻshiluvchilarning oʻrnini ham suratda va ham maxrajda almashtirdik.
(51) shartni kuchaytiramiz, buning uchun undagi kasrning suratini un- dan katta boʻlgan songa, maxrajini esa undan kichik boʻlgan songa al- mashtiramiz. Buning uchun suratdagi i indeksni uning maksimal qiymati N bilan almashtiramiz hamda (3) dan kelib chiquvchi Nh = L tenglikdan foy- dalanib, surat uchun exp( M3h) – 1 dan kattaroq boʻlgan songa ega boʻlamiz. Maxrajdagi exp( M3h) miqdorni esa eksponenta uchun qatorga yoyib, ulardagi 1 birlikni qisqartirib, natijada quyidagi munosabatga ke- lamiz:
M
1
1! 3
h 1 (M 2!
h)2
1 (M
3!
h)3 ,
3
3
bu yerda ikkinchi qoʻshiluvchidan boshlan barcha keyingilari qoʻshiluvchilar M3h dan kichik.
Natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz:
exp(M 3 L) 1 Mh2 M exp(M 3 L) 1 h.
h
M
M
i
3 3
Bu olingan baholash (50) baholashning aynan oʻzi, bunda (41) ga koʻra C oʻzgarmas quyidagiga teng:
3
C 1 M 2 M 3 M1 exp(M
L) 1. (52)
2 M 3
3-natija. Maʼlumki, (50) baholashning oʻng tarafiga koʻra (52) oʻzgarmas i dan bogʻliq emas, shuning uchun quyidagi baholash oʻrinli:
i
max
i0,1,..,N
Ch . (53)
Bu baholashdan toʻr qadamining nolga intilishi bilan toʻr yechimi xatolig- ining ham nolga intilishi (bunda u toʻr tugunlari boʻylab nolga tekis yaqin- lashadi) haqidagi (28) munosabat kelib chiqadi.
9-izoh. Agar M1, M2, M3 oʻzgarmaslar maʼlum boʻlsa, u holda toʻr
CL/N *
tengsizlikni yechish talab qilinadi; bu tengsizlikni qanoatlantiruvchi kesmalarni boʻlishlar soni N da toʻrning ixtiyoriy tugunida toʻr yechim
Foydalanilgan va mustaqil oʻzlashtirishga oid adabiyotlar roʻyxati
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad, Mathlab, Maple (Самоучитель). – М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновен- ных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во МГУ, 1990.– 336 с.
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные мето- ды. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2011. – 640 с.
Бахвалов Н. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Изд-во Бином. Лаборатория знаний, 2010. – 240 с.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. – М.: Высшая школа, 2009. – 848 с.
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математи- ки. М.: Наука, 1966. – 566 б.
Заусаев А.Ф. Разностные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учеб. пособ. - Самара: Самарский гос. техн. ун-т, 2010. - 100 с.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 1- қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2003. – 440 б.
Исраилов М.И. Ҳисоблаш методлари. 2-қисм. – Тошкент: Ўқитувчи, 2008. – 340 б.
Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы: в 2 кн. Кн. 2. Методы математической физики. - М.: Издательский центр «Ака- демия», 2013. - 304 с.
Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Изд-во Лань, 2010. – 608 с.
Мэтьюз Джон Г., Финк Куртис Д. Численные методы. Использо- вание Matlab. 3-издание: Пер. с англ. – М.: Изд-во дом «Виль- ямс», 2001. - 720 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы. – М.: Изд-во Лань, 2009. - 288 с.
Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. –
www.edu.ru; www.edu.uz; www.exponenta.ru; www.intuit.ru; www.ziyonet.uz; www.techlibrary.ru
REJA:
|
Kirish
Boshlangʻich tushunchalar
Masalaning qoʻyilishi
Eylerning oshkor usuli
Eyler oshkor usulining yaqinlashishi
Foydalanilgan adabiyotlar
|
|
|
