Kompyuterning qoʻllanilish

 ⁽²⁾  ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x   hh² , 0  
 1 . (35)

i1 ₂ i i i

i 1
Isbot. (34) formuladagi ^{y(i ) (x )} miqdorni Teylor formulasi boʻyicha
yoyamiz, ^y_{i 1} miqdorni esa (12) – Eylerning oshkor usuli formulasiga koʻra
almashtiramiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz:

 ⁽²⁾  ^ y⁽ⁱ⁾ (x )  y⁽ⁱ⁾ ^(x )h  ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x
  hh^{2 }  y
 hf (x , y ),
(36)

i1 ^ i

i ₂ i i ^ i i i


bu yerda _i – nol va bir orasidagi haqiqiy son. (15) va (16) ga koʻra

y⁽ⁱ⁾ (x )  y , y⁽ⁱ⁾ ^(x )  f (x , y⁽ⁱ⁾ (x ))  f (x , y ).
(37)

i i i i i i i


(2)
i1
 ¹ M
₂ 2

• 
  M ₃ M₁
  

h² ,
(38)

bu yerda M₁, M₂, M₃ – (29)-(31) shartlardagi oʻzgarmaslar.
Isbot. (35) ifodadan quyidagiga ega boʻlamiz:

_ (2)
 ¹ y⁽ⁱ⁾ ^x
  hh² .
(39)

i1 ₂ i i
Bu munosabatga kiruvchi y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimning ikkinchi hosilasi modulini baholaylik.
(15) tenglikni x boʻyicha differensiallaymiz, keyin esa shu tenglikdan yana bir bor foydalanib, quyidagiga ega boʻlamiz:
^{y(i) x  f x, y(i) x f x, y(i) x y(i) x  f x, y(i) x f x, y(i) x f x, y(i) x}.
x y x y
Bu yerdan (29)-(31) shartlarga koʻra ixtiyoriy x[x₀, x₀+L] uchun quyidagi tengsizlik oʻrinli ekanligi kelib chiqadi:

2
y⁽ⁱ⁾ ^x  M
 M₃M₁ .

Bu tengsizlikda
x  x_i  _ih
deb olib va natijani (39) tenglik bilan

solishtirib, (38) tengsizlikka kelamiz.
4-xulosa. Ixtiyoriy i = 0, 1, …, N–1 lar uchun quyidagi tengsizlikni qanoatlantiradi:


( 2)
i1

lokal xatolik


(2)
i1
 Mh² ,
(40)

bu yerda M – oʻzgarmas boʻlib, M₁, M₂, M₃ lar orqali quyidagicha ifodala- nadi:
M = (M₂+ M₃M₁)/2. (41)
Boshqacha qilib aytganda, barcha lokal xatoliklarning moduli h boʻyicha ikkinchi tartibli kichiklikka ega cheksiz kichik miqdor bilan baholanadi.
Endi jamlangan xatoliklarni tadqiq qilishga oʻtaylik.

Maʼlumki, yuqorida aytib oʻtilganidek,
(1)


i1
xatolik x_i tugundagi toʻr

yechimning noldan farqli _i xatoligi tufayli paydo boʻladi, shuning uchun


(1)
i1
xatolikni _i xatolik orqali ifodalashga harakat qilaylik. Shuni

taʼkidlaymizki, _i xatolik (1) differensial tenglamaning x_i nuqtadagi ikkita

y va y⁽ⁱ⁾ yechimlari orasidagi farq,
(1)


i1
miqdor esa xuddi shu yechimlarning

x_i+1 nuqtadagi farqi (9-rasm). Shuning uchun differensial tenglamalar naz- ariyasidagi quyidagi dalilga tayanamiz.

   
_{ }  ^ _{ } 

y ^I (
)  y ^II ( )  y ^I (
)  y ^II ( )  exp^_ f (x, y(x))dx^ _{, (42)}
y

 ^ 

bu yerda
y^(x)
– ikkita y^I(x), y^II(x) yechimlarning oraliq qiymati.

Isbot. Faraz qilaylik, ushbu
z(x) = y^I(x) – y^II(x) (43)
miqdor bu yechimlarning farqi boʻlsin. Bu miqdor qaysi differensial tenglamani qanoatlantirishini aniqlaylik.
(43) dan hosila olamiz, oʻrniga qoʻyishlardan keyin quyidagiga ega boʻlamiz:
z (x) = f(x,y^I(x)) – f(x,y^II(x)). (44) Bu tenglikning oʻng tarafiga Lagranjning chekli orttirmalar formu-
lasini y oʻzgaruvchi boʻyicha qoʻllaymiz, natijada:
f(x,y^I(x)) – f(x,y^II(x)) = f_y(x, y^(x) )( y^I(x) – y^II(x)). (45)
(45) va (43) formulalarni hisobga olib, (44) formuladan quyidagi tenglikni keltirib chiqaramiz:
z (x) = c (x)  z (x) , (46)
bu yerda c (x) funksiya oqrali quyidagi funksiya belgilangan:
c (x) = f_y (x, ^y(x) ) , (47)
y^I, y^II yechimlarni har xil deb hisoblaylik (agar ular oʻzaro mos boʻlsa
(42) tenglikning toʻgʻriligi koʻrinadi). Aslida bu yechimlarning qiymatlari [, ] kesmaning biror nuqtasida ham mos tushmaydi, chunki agar y^I(x_*) = y^II(x_*) = y_* tenglik oʻrinli boʻlganda edi, qaralayotgan differensial tenglama bilan berilgan Koshi masalasi ushbu y(x_*) = y_* boshlangʻich shartda ikkita har xil yechimga ega boʻlgan boʻlardi, bu esa berilgan tenglamaning oʻng tarafiga nisbatan farazimizga zid boʻlib chiqadi. Natijada (43) ifoda nolga aylanmaydi, shuning uchun, birinchidan, (46) tenglikni quyidagicha yozib olish mumkin:
^z(x)  c(x) _{, (48)}
z(x)
ikkinchidan, c(x) uchun (47) ni (45) yordamida quyidagicha yozish mum- kin:

f (x, y^I (x))  f (x, y^II (x))
( y^I )^(x)  ( y^II )^(x)

c(x) 
y^I (x)  y^II (x)
^ y^I (x)  y^II (x) ^.

z

z ( )
_ c(x)dx _.


Bu integralni Nyuton-Leybnits formulasi boʻyicha hisoblab, quyidagi tenglikka kelamiz:

yoki

ln z( )  ln z( )  _ c(x)dx


_ln z( )
z( )

 _ c(x)dx _,


bu yerda z funksiya musbat, aks holda y^I, y^II yechimlar teskari nomer- lanadi.
Bu yerdan logarifning taʼrifiga koʻra quyidagi munosabatga kelamiz:
z( ) ^{  }
_{z( )}  exp^_ c(x)dx^

yoki
 ^ 

 ^ 

z( )  z( )  exp^_ c(x)dx^ _.
 ^ 
Bu esa (43) va (47) larga koʻra (42) ni beradi.

2-natija. (i+1)-chi qadamning
(1)


i1
jamlangan xatoligi x_i tugundagi y_i

toʻr yechimning _i xatoligi orqali quyidagi tengsizlik bilan baholanadi:


(1)
i1
 exp(M
₃h)  _i
, (49)

bu yerda h – toʻr qadami, M₃ – (31) shartdan olingan oʻzgarmas.
Isbot. (42) formulada y^I, y^II yechimlar sifatida izlanayotgan y yechimni va y⁽ⁱ⁾ yordamchi yechimni, ,  sifatida esa x_i, x_i+1 tugunlarni qabul qilaylik. Maʼlumki, bu yechimlarning x_i tugundagi farqi y_i toʻr yechimning _I xatoligiga teng, shu yechimlarni x_i+1 tugundagi farqi esa

(i+1)-chi qadamning ega boʻlamiz:
(1)


i1
jamlangan xatoligi. (42) formuladan quyidagiga

i1 i







^{ y}  

_ (1) _{ }
 exp^ f
 ^
(x, y(x))dx^ _.


Bu yerdan absolyut miqdorlarga oʻtamiz, eksponentaning musbat
ekanligidan,


_ ^xi1 _{  }

(49) baholash uhbu
(1)




i1
 _i
 exp^ _
 ^xi
f _y (x, y(x))dx^ _.


^xi1

Download 239.37 Kb.