1-xulosa. xi+1 tugundagi toʻr yechimni topish uchun tekislikning (xi , yi) nuqtasi orqali Koshining yordamchi masalasi (15)-(16) ning y(i) yechimi grafigiga urinma oʻtkazish lozim va yi+1 toʻr yechim sifatida bu urinmaning ordinata oʻqiga parallel va xi+1 tugun orqali oʻtuvchi toʻgʻri chiziq bilan kesishish nuqtasi ordinatasini olish mumkin.
izoh. Algoritmning birinchi qadamida, yaʼni x0 tugun nuqtada beril- gan y0 toʻr yechim boʻyicha x1 tugun nuqtadagi y1 toʻr yechim izlanadi, aslida urinma izlanayotgan y yechim grafigiga oʻtkaziladi (6-rasm). Algo- ritmning qolgan barcha qadamlarida urinmalar, aslida, (1) tenglamaning boshqa yechimlariga, yaʼni aynan oʻsha differensial tenglama uchun Koshi yordamchi masalasi (15)-(16) ning yechimiga oʻtkaziladi.
izoh. Bu urinmalarni rasmda tasvirlasak, u holda izlanayotgan y yechim grafigiga yaqinlahuvchi siniq chiziqlar hosil boʻladi (6-rasm). Shuning uchun ham Eylerning oshkor usuli Eylerning siniq chiziqli oshkor usuli deb ham ataladi.
izoh. Agar (6) tenglikda y(xi) hosilani almashtirish uchun (7) toʻr boʻyicha yaqilashish oʻrniga boshqa ushbu
y( xi h) y( xi )
y( xi ) y( xi1 )
h
toʻr boʻycha yaqinlashishdan foydalansak, u holda toʻr yechimni izlash- ning avvalgisidan boshqa quyidagi tenglamalar sistemasiga ega boʻlamiz:
yi yi1
f (x , y ) , i = 1, 2, …, N (18)
h i i
y0 = . (19)
(9)-(10) va (18)-(19) tenglamalar sistemasi orasidagi muhim farqlarni aniqlash uchun (18) sistemada indeksni bir birlikka siljitib, uni quyidagi ekvivalent shaklga keltiramiz:
h i1 i
Endi bu sistemani (9) sistema bilan taqqoslaymiz. Koʻrinib turibdiki, nomaʼlum yi+1 (9) tenglamaning faqat chap tarafida chiziqi holda qatnashmoqda, bu esa uni oldingi tugundagi yi toʻr yechim orqali
oshkor shaklda ifodalash imkonini beradi.
|
1
6-rasm.
|
yi1 yi
f ( x , y
) , i = 0, 2, …, N–1 (20)
(20) tenglamada esa nomaʼlum yi+1 (9) tenglamada ikki marta qatnashmoqda: chap tarafida chiziqli va oʻnd tarafda f nochiziqli funksiya ostida nochiziqli. Shuning uchun bu tenglamada nomaʼlum yi+1 ni oldingi tugundagi toʻr yechim orqali oshkor shaklda ifodalashning umuman im- koni yoʻq. Buning uchun esa algoritmning har bir qadamida oldingi tugundagi toʻr yechimdan foydalanib nochiziqli skalyar tenglamani no- maʼlum yi+1 ga nisbatan biror usul yordamida yechish lozim boʻladi.
Bu uslub (1)-(2) Koshi masalasini taqribiy yechishning ushbu
y0 = , yi yi1 h f (xi , yi ) , i = 1, 2, …, N (21)
algoritm shaklida yozilgan Eylerning oshkormas usuli deb ataladi.
Eyler oshkormas usulining geometrik talqinini beraylik.
Faraz qilaylik, yi-1 va yi – berilgan mos xi-1 va xi tugunlarda Eylerning oshkormas usuli yordamida topilgan toʻr yechimlar boʻlsin. Berilgan dif- ferensial tenglama yechimining xi , yi nuqtadan oʻtuvchi grafigini (7-rasm), yaʼni quydagi Koshi masalasi yechimining grafigini qaraylik:
( y(i))( x) = f( x, y(i)( x)), y(i)( xi) = yi .
Bu yechimning x = xi nuqtasiga oʻtkazilgan urinma ( xi, yi) nuqtadan oʻtuvchi va burchak koeffitsiyenti
k = (y(i))(xi) = f(xi, y(i)(xi)) = f(xi, yi). boʻlgan toʻgʻri chiziqdan iborat. (xi-1, yi-1) va (xi, yi) nuqtalarni tutashtiruvchi toʻgʻri chiziq aynan ana shunday toʻgʻri chiziqdir: bu toʻgʻri chiziq tuzilishiga koʻra (xi, yi) nuqtadan oʻtadi, uning burchak koeffitsiyenti esa 7-rasmdan va
(21) formuladan koʻrinib turibdiki, aynan oʻsha miqdorga teng, yaʼni:
|
7-rasm.
|
k yi yi1
( yi1 h f (xi , yi )) yi1
f (x , y ) .
h h i i
Bu dalil quyidagi xulosadan iborat i-chi qadamdagi Eyler oshkormas usu- lining geometrik interpretatsiyasini beradi.
|
