|
Matematikada aksiomatik metod. Piano aksiomalari
|
| bet | 52/67 | | Sana | 05.01.2024 | | Hajmi | 1,8 Mb. | | #130621 |
Bog'liq BOSHLANG’ICH MATEMATIKA KURSI NAZARIYASI OQUV QOLLANMA 2020тайёрMatematikada aksiomatik metod. Piano aksiomalari
Har bir matematik tushuncha xuddi qoidalar singari uzoq o‘tmish tarixiy taraqqiyot mahsulidir. Bu matematik tushunchalar o‘z-o‘zidan kelib chiqmagan. Bular u yoki bu masalalarni yechganda amaliy ehtiyojlar asosida vujudga kelgan. Dastlab dalalarni o‘lchash uchun iplarni tarang tortib o‘lchaganlar. Bu tarang tortilgan ip bizga to‘g’ri chiziq tushunchasini olib keladi. Shuningdek uylarning mustahkam qurilishi uchun, binolarni yer sirtiga nisbatan to‘g’ri burchak ostida qurish afzalligi tajribada kuzatilgan. Bu esa to‘g’ri burchak tushunchalari vujudga kelishiga sabab bo‘lgan ...
Insoniyatning bunday amaliy hayoti natijasida vujudga kelgan tushunchalar qat’iy ta’riflangan tushunchalar emas. U yoki bu tushunchalar tushuntirilishida bu tushuncha nimaga o‘xshashligi ko‘rsatilgan. Masalan: Shar haqida gapirilganda u koptokka o‘xshashligi ta’kidlangan.
Har bir matematik tushunchaga qanday ta’rif beriladi?
Masalan: Aylana diametri ta’rifini beraylik: Dastlab, bu ta’rif: aylanani teng ikkiga bo‘luvchi vatarga aylana diametri deb atalgan. Eramizdan oldingi VI asrda Milet shahrida yashagan qadimgi grek olimi Fales tomonidan bunday vatar albatta aylana markazidan o‘tishini isbotlagan. Shundan so‘ng aylana ikki nuqtasi va markazini tutashtiruvchi to‘g’ri chiziq kesmasiga aylana diametri deb ta’rif berildi.
Bu ta’rifni berish uchun aylana, aylana markazi, to‘g’ri chiziq kesmasi tushunchalaridan foydalandik.
... Bu tushunchalarga ham ta’rif berib, “nuqta”, “to‘g’ri chiziq”, “tekislik” tushunchalariga kelib qolamiz. Bu tushunchalar qanday tushuncha?
Bunday tushunchalarga ta’rif berilmaydi. Bunday tushunchalar dastlabki tushunchalar yoki asosiy tushunchalar deb aytiladi. Har qanday ta’riflar asosida shu tushunchalar yotadi.
Har bir aksiomalar sistemasi o‘ziga xos tushunchalariga ega bo‘ladi. Mana geometriyada asosiy tushunchalar qilib: nuqta, to‘g’ri chiziq, tekislik, masofa tushunchalari olinadi. Shuningdek bizlar qarayotgan “to‘plam”, “son” tushunchalari ham asosiy tushunchalarga kiradi.
Endi aksiomalar sistemasining qurilishi haqida gapiraylik. Har bir aksiomalar sistemasi quyidagicha quriladi:
1. Asosiy tushunchalar beriladi.
2. Asosiy tushunchalar ustida munosabat beriladi.
3. Aksiomalar bayon qilinadi.
4. Aksiomalar asosida teorema va xossalar isbot qilinadi.
Aksiomalar sistemasida yuqoridagi shartlar ixtiyoriy qilib olinmaydi... Bular ma’lum real ob’ektlarni va ular ustidagi xossalarni ifodalashi kerak.
Masalan: istalgan A, В, M- nuqtalari uchun deb olinsa, bu har doim o‘rinli bo‘lmaydi, chunki real aksiomalarga zid ...
Shunday qilib, matematik nazariya haqiqiy bo‘lishi uchun aksiomalar sistemasining modelini berishi kerak...
Ta’rif: To‘plam va unda ta’riflangan munosabatga aksmiomalar sistemasining modeli “yoki interpretatsiyasi” deb aytiladi, agar unda sistemaning barcha aksiomalari o‘rinli bo‘lsa.
1-misol a~в munosabati berilgan aksiomalar sistemasini qaraylik. U quyidagi uchta shartni qanoatlantiradi.
1.(а) аа.
2.(а,в) ав ва.
3.(а,в,с) авв с ас Bu 1, 3. aksiomalardan qator natijalar kelib chiqadi.
Masalan:
(а,в,с) авс в ас
Bu tasdiqlardan shu narsa kelib chiqadiki agar qandaydir X to‘plami berilgan bo‘lsa, unda ekvivalentlik munosabati ta'riflansa, u holda bu «~» munosabati X to‘plamini o‘zaro kesishmaydigan ekvivalent sinflar to‘plamiga ajratadi. X to‘plam unda ta’riflangan “~” munosabati 1-3 aksiomalar sistemasining modelini tashkil etadi.
Bu tasdiqni “~” munosabati berilgan ixtiyoriy X to‘plam elementlari uchun 1-3 aksiomalar sistemasiga qo‘llasak, bu to‘plamlarning hammasi 1-3 aksiomalar sistemasining modelini tashkil etadi.
2-misol. a<в, < -munosabat bilan beriluvchi aksiomatik sistemani qaraylik:
1)-2)- aksiomalar qat’iy tartib munosabatini 1)-3) –aksiomalar qat’iy chiziqli tartib munosabatini beradi.
2)-misolda “<” –munosabat bilan berilgan X to‘plamda 1)-3) –aksiomalar bajarilsa X -1) -3) aksiomalar sistemasining modelini tashkil qiladi.
Shunday hol bo‘ladiki, berilgan aksiomalar sistemasi modeli tashqi ko‘rinishda har xil bo‘lsada, lekin haqiqatda bu modellar bir xildir.
Masalan:
To‘plamlar berilgan bo‘lsin, bu to‘plamlarda agar
a<в, в1<2, 2<3, 1<3
munosabatlar berilsa, bu 2 to‘plam elementlari orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. Moslik o‘rnatilsa, 1- model 2- modelga aylanadi. Bunday 2 ta modelda berilgan aksiomalar sistemasiga izomorf modellar deb aytiladi.
3. Biz yuqorida aksiomalar sistemasining (qarama-qarshi emasligi) aniq fikrlarni bayon qilishi va haqiqatni ko‘rsatish kerakligini ko‘rdik.
Shuningdek aksiomalar sistemasiga mantiq nuqtayi nazarda ba’zi bir talablar bor:
1. Aksiomalar sistemasining qarama-qarshi emasligi.
2. Aksiomalar sistemasining bog’liqsizligi.
3. Aksiomalar sistemasining to‘laligi.
Aksiomalar sistemasi qarama-qarshi emas degan so‘z nima?
Bu –qandaydir berilgan aksiomalar sistemasining biror-bir aksiomaga nisbatan yolg’on aksiomaning mavjud emasligini bildiradi.
Masalan: bir vaqtning o‘zida biror A jumlasi va uning inkori –rost bo‘lishi mumkin emas.
Shunday aksiomalar sistemasini qaraylik:
1.(a) (b) [ab]
2.(a) [aa]
3.(a,b) [ ab ba ac]
4.(a,b,c ) [ab bc ac]
Bu aksiomalar sistemasida 2 - aksioma qolgan aksiomalar sistemasiga qarama-qarshi bo‘ladi.
Aksiomalar sistemasining qarama-qarshi emasligini ko‘rsatish uchun, shunday modelni tuzish kerakki, sistemada qarama-qarshiliklar bo‘lsa, ularni shu modelga qarama-qarshi modelga o‘tkazish zarur.
Aksiomalar sistemasiga qo‘yiladigan ikkinchi talab aksiomalar sistemasining bog’liqsizligidir, ya’ni bu aksiomalardan hech birini qolgan aksiomalar orqali keltirib chiqarish mumkin emas.
Masalan: agar biz ekvivalentlik munosabatidagi aksiomalar sistemasiga, ya’ni: (a,b,c ) [ab bc ac ni qo‘shsak, u holda uni 1), 3) aksiomalardan keltirib chiqarish mumkin. Aksiomalar sistemasining qandaydir aksiomasining bog’liqsizligini ko‘rsatish uchun, shunday aksiomalar sistemasining modelini tuzish kerakki, bu modelda hamma aksiomalar o‘z holicha bayon qilinib, faqat o‘sha berilgan aksiomalarga, uning inkori bayon qilinadi.
Aksiomalar sistemasiga qo‘yiladigan 3-talab:
Aksiomalar sistemasi to‘la bo‘lishi kerak.
Ta’rif: aksiomalar sistemasi to‘la deb aytiladi, agar ularning hamma modellari o‘zaro izomorf bo‘lsa.
4.Boshlangich sinflarda asosan manfiy bo‘lmagan butun sonlar bilan ish ko‘riladi. Manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plamiga ta’rif berganda Piano aksiomalari sistemasiga tayanamiz. Italyan olimi Piano 1889- yilda shu aksiomalarni kashf qildi. Piano natural sonlar uchun aksiomalar sistemasini berdi. Quyida keltirilgan aksiomalar sistemasi Zo uchundir.
Piano aksiomalar sistemasi qurilishiga e’tibor beraylik; Bunda:
1.Asosiy tushunchalar “to‘plam”, “son”, tushunchalari olinadi
2.Asosiy munosabatlar- “ketidan keladi” munosabati tanlanadi
3.Aksiomalar- keltiriladi.(ular to‘rtta)
Ta’rif: Zo to‘plamga manfiy bo‘lmagan butun sonlar to‘plami deb aytiladi, agar bu to‘plamni elementlari orasida “ketidan keladi” munosabati ta’riflangan bo‘lib, bu munosabat quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa:
A:1 Hech qanday son ketidan kelmaydigan 0 soni mavjud.
A:2 Har qanday natural sonning ketidan keluvchi bitta va faqat bitta natural son mavjud.
A:3 Har qanday natural son bitta va faqat bitta natural son ketidan keladi.
A:4(Induktsiya aksiomasi) Agar qandaydir sonlardan tuzilgan M to‘plam 0- sonni o‘z ichiga olsa, va bu to‘plamda qandaydir a-natural sonni mavjudligidan uning ketidan keluvchi son ham mavjud bo‘lsa, bu holda M ~ Zo bo‘ladi.
Bunda a’ –a natural son ketidan keluvchi son.
Induksiya bu xususiylikdan umumiylikka, konkretlikdan abstraklikka o‘tish bosqichidir. Industio- lotincha “yo‘l ko‘rsatish” ma’nosini bildiradi.
Yuqorida keltirilgan Pianoning 4-aksiomasi xuddi matematik induktsiya printsipiga o‘xshaydi.
Pianoning 4-aksiomasini matematik induksiya printsipiga o‘xshatib quyidagicha aytilishi mumkin:
“Qandaydir R fikr: 1) 0 uchun rost va
2) istalgan x natural son uchun rostligidan, x son ketidan keluvchi x’ uchun ham rostligi kelib chiqsa u holda R fikr barcha natural sonlar uchun rost bo‘ladi”.
Maktab matematika kursida matematik induktsiya printsipi quyidagicha ko‘rib chiqilgan edi:
“Agar A(n) fikr (bunda n natural son)
1) n= 1 uchun rost bo‘lib va uning
2) n=k uchun rostligidan (bunda k – istalgan natural son) navbatdagi n=k+1 son uchun ham rostligi kelib chiqsa u holda A(n) fikr ixtiyoriy natural son n uchun rost bo‘ladi”
Ikkinchi qismida n=k uchun fikr rost A(n) –deb faraz qilinib n=k +1 uchun fikr A(n+1) –rostligi ko‘rsatiladi. Ya’ni A(k) A(k+1).
Isbotlashning shu ikkala bosqichidan foydalanib, A(n)- fikrning barcha n-natural sonlar uchun rostligi kelib chiqadi.
Matematik induktsiya metodidan, ayniyatlar to‘g’riligini tekshirishda, ifodalar qiymatlarini hisoblashda, xullas tasdiqlarni isbotlashda foydalaniladi.
1-misol : 1+2+3+….+n=((1+n)n)/2 (1) ekanligini isbotlang.
1) n=1 bo‘lsin 1=((1+1)1)/2 yoki 1=1 , А(1)- to‘g’ri
2) n=k uchun to‘g'ri bo‘lsin: 1+2+3+….+к=((1+к)к)/2 А(к)-rost
3)n=k+1 uchun to‘g'riligini ko‘rsatamiz, ya'ni 1+2+3+….+к+(к+1)=((1+к)(1+(к+1)))/2; yoki 1+2+3+….+к+(к+1)=((1+к)(к+2))/2;
(1+2+3+….+к)+(к+1)=((1+к)к)/2 + (к+1)=((к+1)(к+2))/2;
Demak 1) tenglik barcha n lar uchun rost.
Ta’rif: Agar в –soni a natural sondan keyin kelsa, u holda a natural soni, в natural sonidan oldin keladi deb aytiladi.
1-teorema : Nolga teng bo‘lmagan har qanday natural son uchun undan oldin keluvchi natural soni mavjud va u faqat birgina.
Isbot: M-to‘plam 0 ni o‘z ichiga oluvchi va teorema shartini qanoatlantiruvchi elementlardan tuzilgan bo‘lsin
2) bo‘lsin u holda chunki а-а1 dan oldin keluvchi son. IV aksiomaga asosan bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Natija1 .( а, b) [ a’b’ ab] Haqiqatdan ham , a’b’ ab bo‘lsin , u holda a=b a’=b’ o‘rinli 2- aksiomaga asosan, demak
a’b’ ab.
(а,в) [aв a’b’) Isboti yuqoridagidek bajariladi.
2-teorema : Hech qanday natural son o‘zidan oldinda keluvchi natural son bilan teng bo‘lolmaydi.
Isbot :M-to‘plam, teorema shartini qanoatlantiruvchi barcha a –larni o‘z ichiga oladigan to‘plam bo‘lsin.
M-0 ni o‘z ichiga oladi. . Faraz qilamizki, bo‘lsin : ikkinchi tomondan demak:
Shu mavzu buyicha talabalarga mustaqil beriladigan vazifa: 1.Quyidagi yig’indini hisoblang:
|
| |
