2X2
— 3 x - 4 = 0,
x
2 - 5
x
- 6
= 0,
Зх2
+
5x
=
0.
2X2
+ 7 x = 0
,
5X2
=
0
,...
~10~
4. Kvadrat tenglama tadbiqiga doir hayotiy misollar keltirish kerak. Masalan,
gt
2
2
s = ~
formula fizika kursidan bizga ma’lum, bu tenglamani yechish
g r-2 s= 0
к о 'rinishidagi chala kvadrat tenglama holiga keltirib, so'ngrayechiladi.
5. Kvadrat tenglamaning ildizlarini hisoblash formulasini keltirib chiqarish.
1
- u s u 1.
ax2 + bx + с = 0
tenglama ildizlari topilsin. Buning uchun quyidagi
ayniy almashtirishlami bajaramiz:
ax2 +bx+c =
■■ a
Г -
b
с
"
b
с
x~
+ —
X
H
—
= a
x~ +2
---
r-h
—
a
a
.
2a
a _
, ,
b
b2
b2
с
x-
+ 2 -----
x
н------5------- r- + —
2 a
4a
4a-
a
2 a
—
V -
4
a 2 )
- Л ас
4
c f
b
V _
b
2 - 4 a c
2 a
J
4ar2
2
4 a 2
= O;
a s t O
X + -
2a
ft
~4ac
4o* ’
+ -Jb~ -4ac _ b±ylb2 -4ac
*u
la
"
~
2a
’
-ft + \/ft2 -4яс
2
a
-b -\[b 2~-4ac
2a
2- u s u 1
ax2
+
bx
+ с =
0
ax2 + bx = - c
I -
4a,
4a2x2 + 4abx
=
-4 a c \
+
b2,
4a2x2 + 4abx + b2
=
b2
-
4ac,
(2ax + b)2
=
b2
-
4ac;
2ax,2 +b =
±>/ft! ~4ac
-ft+Vft2 -4oc
x,, --------------- -—
2a
-ft + Vft1 -4oc
2a
-ft-Vft1 -4ac
2a
Agar
iix: >
bx rc^O
da a = 7 bo'lsa, x2+ftx+c=0 ko’rinishdagi kvadrat tenglama
hosil bo'lib, uning yechimlari quyidagicha bo’ladi:
-ft ± %/ft2-4 c
-b
IP
x,, = ---------------- -- — ± .1----- с
2
2
V 4
Agar
b=p; c ^ q
desak,
x 2+px+q=0
bo’ladi, uning yechimlari
~11~
bo'ladi.
3 - u s u 1.
x2 + p x
+
q = 0
(1)
b
=
q;
2ab ~ p
desak,
Ь=±^ ' ° = ±i
bulami (1) ga qo'ysak, u quyidagi ko'rinishni oladi
x1 + 2abx + b2 ~ 0
(2)
(
2
)
ga
a2x~
ni qo'shsak va ayirsak
x2+2abx+b2 +a2x2- a 2x2 =0
bo'ladi,
a'x"+2abx+b~-
a2x2+x2=0
yoki
(a x + b f-a 2x2 +x2=0
belgilashga
ko’ra
b=±Jqi, a = ± —^=
edi, shuning uchun
2 V?
-^ = + yJq\
дг2+дгг =0;
l.2v^ V ,J
4
q
(px+ lq)1 - р 2хг +4qx'
=0;
px + 2q = ±Ху1рг
- 4
q\
2q = x ( - p ± J p r ^4q)',
x
lq
- p ± / p ' - 4 q
1 - m i s о I.
jT
- 3
x
- 10 = 0;
p = -3;
q = -10
1 - u s u 1.
+ J ^ i - ( - 10)= - ± -
2
\ 4
4
2
V 4
2 2
=5. Xj=-2
2 - u s u 1.
x
lq
-
2' (~10)
- ~20
~p ± /p - - 4 q
-<-3)±V(-3)2
—
4-(
—
10)
3±7
X;=J;
2 - m i s о I.
дг2 +2дг
- 15 = 0;
p
= 2;
^ = -7 5
22 (-15)
_ -30
U
-p ± y lp 1-4q
-2 ± ^ 2 г
- 4-(-15)
-2±8
x, =-5;
x2=3
3 - m i s o l . Зх2—7 = 0 bo'Isa,( ^ = 7 ) => r = ~
xu =
2 =
± J ^
bo’ladi.
4 - m i s о 1.
2X2 - 3 x = 0
bo'lsa,
[x ( 2 x - 3 ) = 0])
5 - m i s о 1.
2X2
=
0
bo'lsa,
x u = 0
bo'ladi.
bo'ladi.
5-§. M atem atik hukm .
Matematik hukm mantiqiy bilish formalaridan biri bo'lib, unga quyidagicha
ta’rif berilgan:
«Tushunchalar asosida hosil qilingan m atem atikfikm i tasdiqlashyoki
inkor qilishga matematik hukm deyiladi».
Bu ta’rifdan ko'rinadiki, hukmning
xarakterli xossasi aytilgan matematik fikming to'g'riligini tasdiqlash yoki
noto’g'riligini inkor qilishdan iborat ekan.
Matematik tushunchalami tasdiqlash ma’nosidagi hukmga quyidagicha misollar
keltirish mumkin:
1. Paralellogrammning qarama-qarshi tomonlari o'zaro parallel va teng.
2. Har qanday turdagi uchburchak uchta uchga ega.
3. Uchburchak ichki burchaklaming yig'indisi 180° ga teng.
4. Ko'pburchak ichki burchaklariningyig'indisi
2d(n-2)
gateng.
Matematik tushunchalami inkor qilish ma’nosidagi hukmlarga quyidagi
misollami keltirish mumkin:
1. Har qanday uchburchakda ikki tomon uzunliklarining yig'indisi uchinchi
tomon uzunligidan kichik emas.
2. Piraxrudadagi uchyoqli burchaklaming yig'indisi hech qachon o'zgarmas son
bo'la otmaydi.
3. Har qanday to'rtburchakda ichki burchaklar yig'indisi 360° dan katta emas.
Bundan kelib chiqadiki, har qanday matematik gap ham matematik hukm bo'la
olmas ekan. Masalan, «ABCD to'rtburchak paralellogramm bo'la oladimi?»
«Ixtiyoriy uchburchak ichki burchaklarining yig'indisi 180° ga teng bo'la oladimi?».
Keltirilgan ikkala misoida ham inkor va tasdiq ma’nosi yo’q, shuning uchun ular
matematik hukmga misol bo'la olmaydi.
Matematik hukm uch xil bo'ladi:
1. Birlik hukm . 2. Xususiy hukm . 3. I niumiy hukm .
Matematikani o'qitish jarayonida yuqoridagi hukmlaming uchala turi uzviy
aloqada bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda, birlik hukmning natijasi sifatida xususiy
hukm hosil qilinadi, xususiy hukmning natijasi sifatida esa umumiy hukm hosil
qilinadi. Fikrlarimizning dalili sifatida quyidagi misolni ko'raylik. 1) Birlik hukmlar:
a) Aylana to 'g 'ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
b) Ellips to 'g 'ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
v) Giperbola to 'g 'ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
g) Parabola to 'g 'ri chiziq bilan faqat ikki nuqtada kesishadi.
~13~
2) Xususiy hukm: "Aylana, ellips, giperbola va parabolalar ikkinchi tartibli egri
chiziqlar hosil qiladi". Yuqoridagi birlik va xususiy hukmlarga asoslanib, quyidagi
umumiy hukmni hosil qilamiz.
3) Umumiy hukm: "Ikkinchi tartibli egri chiziqlar to 'g 'ri chiziq bilan faqat ikki
nuqtada kesishadi".
6-§. M atem atik xulosa.
Matematik xulosa ham mantiqiy tafakkur qilish shakllaridan biri. Matematik
xulosaga bunday ta’rif berilgan:
«Ikldta q a t’iy hukmdan hosil qilingan uchinchi natijaviy hukmga xulosa
deyiladi».
M i s о I 1-Hukm: to'rtburchakning diagonali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
2-Hukm: Har bir uchburchak ichki burchaklarining yig' indisi 180° ga teng.
3-Hukm: Demak, to'rtburchak ichki burchaklarining yig'indisi 360° ga teng
(xulosa bo'ladi).
Maktab matematika kursida xulosalaming uchta turi, ya’ni induktiv, deduktiv va
analogik xulosalar o'rganiladi.
T a 1 г i f,
Ayrim yoki xususuy m a ’lumotlarga tayanib umumiy xulosa
chiqarishni induksiya deyiladi.
Induksiya uch xil bo'ladi: chala induksiya, to'la induksiya va matematik
induksiya. Chala induksiya metodi orqali chiqarilgan xulosa ko'pgina hollarda
to 'g 'ri, ammo ayrim hollarda noto'g'ri bo'ladi.
1
- m i s о 1. Fermaning mashhur teoremasi bo'yicha (2r +1) ko'rinishdagi
sonlar
n =
[0,1,2,3,4,...] bo'lganda 3, 5, 17, 257, 65537, ... kabi tub sonlardan iborat
edi. Shuning uchun Ferma umumiy holda (22 +1) ko'rinishdagi barcha sonlar
n
ning
ixtiyoriy qiymatlarida ham tub sonlar bo'ladi, deb umumiy xulosa chiqargan. XVIII
asrda L.Eyler Ferma teoremasini tekshirib, uning qonuniyati:
n=
5 bo'lganda
buzilishini, ya’ni hosil bo’lgan son murakkab son bo'lishini aniqlagan:
(22>
+1) = 4294967297 = 641 -6700417.
Bu degan so 'z (22' +1) ifoda 641 ga bo'linadi, bundan
(21'
+1) tub son bo’lmay,
balki murakkab son ekanligi kelib chiqadi. Demak, chala induksiya metodi orqali
Fermaning V«
e
Л’ bo'lganda (2r +1) ko'rinishdagi sonlar tub bo'ladi, degan xulosasi
noto'g'ri ekan.
Induksiya metodi orqali xulosa chiqarish esa biror matematik qonuniyat uch hoi
uchun o'rinli boiganidan
n
- hoi uchun o'rinli deb qabul qilinadi.
1-misol:
F 2 + F 3 + ^
+ -+ ^ W
indisini h iso b lan g
~14~
s
- - 1 , t ^ 3 + 1_ 4_ 2
2
~ 1-2 + 2-3 ~ 6
6
3 ’
S'
= — —
1 = 6 + 2 + 1^
9 _ 3
' 3
1- 2+ 2 - 3+ 3-4 ~
12
12
4'
Bu uchta xususiy yig'indiga asoslanib, umumiy xulosani yozamiz:
S
= —
"
n+
1
2-misoI. Yig’indini hisoblang:
1
1
1
: + — =
= + • • • + •
|
