9-§. Teoremalarni isbotlash metodlari.
T a ‘ r i f. Isbotlash
-
deduktiv xulosa chiqarish zanjiri, demakdir.
Har qanday isbotlash jarayoni quyidagi uch qismni o 'z ichiga oladi:
1. Teoremaning bayoni - isbot talab etiladigan holat.
2. Argumentlar - teoremani isbotlash jarayonida ishlatilgan matematik hukmlar.
3. Isbotlash - deduktiv xulosa chiqarish orqali teorema xulosasida topish talab
qilingan
noma’lumni
uning
shartlari
hamda
aw aldan
ma’lum
bo ig an
argumentlardan foydalanib keltirib chiqarish.
Teoremani isbotlashga kirish va uni isbotlash jarayonida o'qituvchi yordamida
o'quvchilar quyidagi mantiqiy ketma-ketlikka ega bo'lgan bosqichlami bajarishlari
kerak:
1) Teoremaning sharti va uning xulosasi nimadan iborat ekanligini to la
tushunib olishlari kerak.
2) Ana shu teoremani shart va xulosasida qatnashayotgan har bir matematik
tushunchaning ma’nosini bilishlari kerak.
3) Teoremaning shart va xulosa qismlarini matematik simvollar orqali
ifodalashlari kerak.
~29~
4) Teoremaning shartida qatnashayotgan ma’lum parametrlar teorema
xulosasidagi noma’lumni aniqlay oladimi yoki yo qmi ekanligini bilishlari kerak.
5) Teoremani isbotlash jarayonida teoremadagi shartlardan teorema xulosasining
to'g'riligini ko'rsatuvchi natijalar keltirib chiqarishi kerak.
6) Teoremani isbotlash jarayonidagi mantiqiy mulohazalarda teoremaning
shartidan to' la foydalanishlari kerak.
7) Teorema isbot qilib bo'lingach, isbotlashda qo'llanilgan metodni ko'zdan
kechirish va imkoni bo'Isa, isbotlashning boshqa usullarini qidirib topish kerak.
Maktab matematika kursidagi teoremalami isbotlash ikki usulda amalga
oshiriladi.
1) Bevosita isbotlash usuli (to'g'ri isbotlash usuli);
2) Bilvosita isbotlash usuli (teskarisidan faraz qilish usuli);
Bevosita isbotlash usuli jarayonida teoremaning shartida qatnashayotgan
ma’lum va parametrlardan hamda aw aldan m a’lum bo Igan aksioma, ta’rif va
teoremalardan foydalangan holda mantiqiy mulohaza yuritib, teorema xulosasida
talab qilingan noma’lumlami topiladi. Teoremalami bunday isbotlash analiz va sintez
orqali amalga oshiriladi.
T a ‘ r i f.
Noma 'lumlardan та lumlarga tomonga izlash metodi analiz deyiladi.
Psixologik olimlar analiz metodini quyidagicha ta’riflaydilar:
analiz - bu butunlardan bo laklarga tomon izlash demakdir.
T a ‘ r i f.
Ma 'lumlardan noma 'lumlarga tomon izlash metodiga sintez deyiladi.
Psixologik nuqtai-nazardan sintez metodi bo' laklardan butunlarga tomon izlash
metodi demakdir.
Fikrimiz dalili sifatida quyidagi teoremalami analiz va sintez metodlan orqali
isbotlaymiz.
1 - t ye о r ye m a. V nuqtada kesishuvchi
SD
va
Y e F
to 'g 'ri chiziqlar
a
tekislikda yotadi va
S V = BD, YeV =
BF. a
tekislikda yotmaydigan
A
nuqta
AE=EF
va
A C —AD
tengliklami
qanoatlantiradigan qilib tanlansa,
A V
to 'g 'ri
chiziq
a
tekislikka
perpendikulyar bo'ladi (13 - chizma).
В ye r i 1 g a n: - a tekislik,
(CD)K(EF)=V. (SV=BD)
Л
(EV=BF), (AE =AF)
Л
(AC=AD).
I s b o t q i l i s h k y e r a k : ^ F l a .
I s b o t i . Bu teoremani analiz metodi bilan isbotlaymiz.
~30~
1.
A V x a
ekanligini isbot qilish uchun
A V lC D
va
A l 'l E F
ekanligini isbot
qilish yetarti.
2. A V lC D
ekanligini isbot qilish uchun
ZA V S= ZABD
ekanligini isbot qilish
yetarli.
3. Bu
burchaklaming tengligini isbot qilish uchun AA VS-AABD ekanligini isbot
qilish yetarli, lekin VS=BD, AC=AD, A V = A V
shuning uchun
A A VS = A ABD.
4. A V ± YeF
ekanligini isbot qilish uchun
ZA B E= ZABF
ekanligini isbot qilish
yetarli.
5. Bu burchaklaming tengligini isbot qilish uchun
AAVE=AAVF
ekanligini isbot
qilish yetarli, lekin
BE=BF, A E -A F , AV=AV,
shuning uchun
AAVE=AAVF,
bundan
A V l a
ekanligi kelib chiqadi.
Isbotning sintez usuli
/.
A ABE
=
A ABF.
2. Z A H E
=
Z A B F .
3. A A V S = A ABD.
4 Z A B C
=
Z A B D .
5. (2)
va
(4)
ga k o r a
A V
1
CD v a A V X EF.
6. (5)
ga k o 'ra
A V
1 a.
2
- t ye о г ye m a.
Agar bir uchburchakning ikki tomoni ikkinchi
uchburchakning ikki tomoniga о 'zaro teng bo Isa, и holda bu tomonlar orasidagi
burchak qaysi uchburchakda katta bo Isa, shu burchak qarshisida katta tomon yotadi
(14 - chizma).
В
14-Chizma.
Berilgan:
AAVSvaA A jV jC ,, AV=A,B,. AC=A,C,. ZBAC > ZB,A,C ,.
Isbot qilish kerak:
VS> V/C/.
Isbotning analiz metodi, 1 - u s u 1.
AiV,S;
uchburchakni
A VS
uchburchak ustiga teng tomonini moslab siljitamiz,
natijada
A S -A ,S ,
bo'ladi.
ZB A B ,
dan
AO
bissektrisani o'tkazamiz, u holda
AOAV-AOAVj
hosil bo'ladi. bundan
VO—VtO
ekani kelib chiqadi,
AOVtS
dan
quyidagi tengsizliklami yoza olamiz:
OS
+
OV, > V,0, OS
+
()V> V/S. VS > V,Sj.
2 - u s u l . (15 - chizma)
~31~
А
С A!
Ci
A=Ai
C =Q
15-Chizma
В ye г i 1 g an :
dAVC'va AA
j
B
j
C
j
. AV=A,B,, AS=A/Cj.
Isbot qilish kerak:
VS > VtCj.
I s b о t i.
A iB /С/
uchburchakning
A VS
uchburchak uctiga shunday qo'yaylikki,
natijadaAS’^/l/S; bo'lsin.
1.
VS>ViSj
ni isbot qilish uchun oldin qachon bir kesma ikkinchi kesmaga
nisbatan uzun bo'ladi, degan savolga javob berishimiz kerak.
2.
VS
va
V/Si
kesmalami taqqoslash uchun
A t V,Si
uchburchakni
A VS
uchburchak ustiga siljitish natijasida hosil qilingan
VV/S
uchburchak tomonlanni
o'zaro taqqoslash yetarli.
3. Qanday shart bajanlganda uchburchakning bir tomoni uning ikkinchi
tomonidan katta bo' ladi (katta burchak qarshisida katta tomon yotadi)?
4.
VSVj
uchburchakning
VS
tomoni
VV,S
burchak qarshisida va
SV,
tomoni esa
V,VS
burchak qarshisida yotadi.
VS>VjS,
bo'lishi uchun
Z C V V ,< Z S V ,\'
ekanligini
ко' rsatish kifoya.
5.
AVAVi
teng yonli, chunki teorema shartiga ko'ra
A V ^A V ,
edi, shuning uchun
Z A W ^ Z A V P ^ Z l .
Z W , C = Z l
+
Z A B ,C .
Z S W ,
=
I - Z A VC.
Z I
+
Z A B ,C > Z 1 - Z A B C .
Z B B iC > B,BC
bundan
VC > V,C,
bo'ladi.
В
в,
в
Cl
16-Chizma
Isbotning sintez usuli (16 - chizma)
/.
A V = AVi. 2. Z A W l = Z A V ,V = Z l.
3. Z A B ,B + Z 4 > Z 4 B ,B - Z 3 .
4. Z C B ,B
>
CBB,.
5. Katta burchak qarshisida katta tomon yotadi, shuning uchun
VS>ViS,
bo' ladi.
~32~
|
