chiziqlarga moc ravishda parallel bo'lgan to 'g 'ri chiziqlar mavjud emasligini isbot
qiling.
Isboti. p tekislikda shunday V nuqta mavjudki, bu nuqtadan o'tuvchi
b
va
b,
to 'g 'ri
chiziqlar moc ravishda
a
va
to 'g 'ri chiziqlarga parallel bo'lgan deylik. U
holda tekisliklaming parallellik alomatiga ko'ra
a \\p
bo'lishi kerak. Bu esa тяк яЬ
shartiga zid. Demak, p tekislikda
a
va
a x
to'g'ri chiziqlarga mos ravishda parallel
bo'lgan tekisliklar mavjud. Ajratish metodi bilan isbotlashda tezis mazkur masala
yuzasidan qilinadigan mumkin bo'lgan barcha farazlardan biri bo'ladi.
Fikrimizning
dalili sifatida quyidagi masalani ajratish metodi orqali yechamiz.
2
- m asala.
a
va b uchrashmas to g'ri chiziqlar berilgan.
A
va
V
nuqtalar
a
to 'g 'ri chiziqda,
S
va
D
nuqtalar
b
to 'g 'ri chiziqda yotadi.
A S
va
BD
to 'g 'ri
chiziqlaming o’zaro vaziyatini aniqlang (21 - chizma).
I s b o t i . M a’lumki, fazodagi ikki to 'g 'ri chiziq quyidagi uch holatdan birini
egallaydi:
1.
AC\\BD. 2. A C r\B D
3.
A S
va
BD
to 'g 'ri chiziqlar uchrashmas.
1. Faraz qilaylik,
AC\\BD
bo'lsin, u holda bu to'g'ri chiziqlar
a
va
b
uchrashmas
to g ri chiziqlar ham yetadigan birgina tekislikni aniqlaydi
Bu esa masala shartiga
zid.
2.
A Sr^BD
bo'lsin, u holda bu ikki kesishuvchi to g'ri chiziqlar
a
va
b
uchrashmas to 'g 'ri
b
chiziqlar ham yotadigan birgina tekislikni aniqlaydi. Bu ham
masala shartiga zid. Demak
A S
va
BD
to 'g 'ri chiziqlar uchrashmas to'g'ri
chiziqlardir.
2
- 1 ye о r ye m a.
To 'g'ri chiziqdan tashqaridagi nuqtadan shu to 'g'ri chiziqqa
parallel to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin vafaqat bitta.
Isboti.
a -
berilgan to 'g ’ri chiziq va
A
bu to 'g 'ri chiziqda yotmagan nuqta bo'lsin.
a -
to 'g 'ri
chiziq va
A
nuqta orqali
a
tekislik o'tkazamiz. a tekislikda
A
nuqtadan
a
to 'g 'ri chiziqqa parallel
at
to 'g 'ri chiziqni o'tkazamiz.
a
ga parallel bo'lgan
aj
to'g'ri
chiziqning yagona ekanini isbotlaymiz. Teskarisidan faraz qilaylik,
A
nuqtadan
o'tadigan va
a
to 'g 'ri
chiziqqa parallel boshqa
a2
to 'g 'ri chiziq mavjud bo'lsin, a, Oi
to 'g 'ri chiziqlar orqali
a 2
tekislikni o'tkazish mumkin.
a 2
tekislik a to 'g 'ri chiziq уаЛ
~37~
nuqta orqali o'tadi, u holda to 'g 'ri chiziq va unda yotmaydigan nuqta orqali bitta va
faqat bitta tekislik o'tkazish
mumkin" degan teoremaga ko ra u
a
tekislik bilan
ustma-ust tushadi. Endi parallel to 'g 'ri chiziqlar aksiomasiga ko ra a b
a2
to'g'ri
chiziqlar ustma-ust tushadi. Shu bilan teorema isbot bo’ldi.
