22-Chizma.
Z a r u r l i k n i n g i s b o t i. Faraz qilaylik
r
va
q
to 'g 'ri chiziqlar o'zaro
parallel bo'lsin,
1
esa
r
va
q
lami kesuvchi to 'g 'ri chiziq bo'Ism, u holla biz Z 2= Z 4
ekanini isbot qilishimiz kerak.
r v & q
to 'g 'ri chiziqlarda
С
va
D
nuqtalami olamiz. О
nuqta
A va В
nuqtalarga nisbatan simmetriya markazi desak,
u holda quyidagi
munosabatlar o'rinli bo'ladi:
1) [AO] -* [VO], 2) [AC] -> [BD],
3) z 4 -> z/A S.
Chizmada Z 2 = Z /A C chunki ular vertikal burchaklardir. Shuning uchun Z 2=
Z 4 ekani kelib chiqadi.
Y e t a r l i l i k n i n g i s b o t i. Faraz qilaylik, /
r
va
q
to 'g 'ri chiziqlami
kesib o'tuvchi to 'g 'ri chiziq, Z 2 = Z 4 bo'lsin. U holda
r
||
q
ekanligini
isbot
qilishimiz kerak.
rr\l = A, q Ы
=
V.
Faraz qilaylik,
r
va
q
to 'g 'ri chiziqlar o'zaro
parallel bo'lmasin, u holda
rr^q=S.
U holda Z 2
ABC
uchburchakning tashqi burchagi
bo'ladi. Bundan Z 2> Z B = Z 4 ekanligi kelib chiqadi, bu esa yuqorida qo'yilgan
Z 2= Z 4 shartga ziddir, demak,
q
||
r
ekan.
3 - t y e o r y e m a .
ai+a2+a3+...+a„+ . . . = ^
0
^
1
=
1
, ос) (I)
i=l
(I) musbat hadli qator yaqinlashuvchi bo'lishi uchun xususiy yig'indilam ing
{A„} ketmci-ketligi chegaralangan bo'lishi zarur vayetarlidir.
3 a r u r i y l i k n i n g
i s b o t i, (1) musbat
hadli qator yaqinlashyvchi
bo'lganda xususiy yig'mdilaming
{A„}
ketma-ketligi chegaralangan ekanligini
ko'rsatsak, teoremaning zaruriy qismini isbotlagan bo'lamiz. (1) musbat hadli qator
yaqinlashuvchi bo'lganligi
uchun
Y a , =A
chekli son bo'ladi,
bundan
UmAn=A
(yoki
«=1
sup{A„}=A)
bo'ladi. Limitning ta’rifiga ko ra lim^„ =
A
bo lgani uchun Ve>0
olinganda ham shunday natural
N
sonni topish mumkinki,
n>N
bo'Iganda
\ A„- A\ < s
tengsizlik o’rinli bo'ladi, bundan:
-e < A „ -A < e
A -e < A tl
By (2) tengsizlik
{A„}
ketma-ketlikning
n > N
nomerli hamma elementlari uchun
bajariladi. (2) tengsizlikdan ko'rinadiki,
{A„}
ketma-ketlik
n>N
dan boshlab
~40~
(A-e, A+e)
oraliqqa joylashgan bo'lar ekan. Bu degan so 'z
{A,,}
ketma-ketlik
chegaralangan deganidir.
" V e t a r l i k n i n g i s b o t i .
{A J
ketma-ketlik chegaralangan bo'lganda (1)
musbat hadli qatoming yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
{A J -
o'zgaruvchi:
1) monoton o' suvchi
2) yuqoridan chegaralangan bo'lganligi uchun monoton o'zgaruvchining limiti
haqidagi teoremaga ko ra u chekli limitga ega bo'ladi, ya’ni
\imA„
=
A
chekli son
#*-*»
bo'ladi, shuning uchun qator yaqinlashuvchi bo'lishinmg ta’rifiga ko ra (1)
musbat
hadli qator yaqinlashuvchi bo'ladi.
Shunday teoremalar borki, ular uchun zaruriy shart bajariladi, lekin yetarli shart
doim ham bajarilmaydi. Fikrimizning dalili sifatida quyidagi teoremani к о 'rib
chiqaylik.
T ye о r ye m a.
a, + a , + я , +
+ =
(1)
1=1
qator yaqinlashuvchi bo'lsa, uning umumiy hadi
a„ -> 0
, ya’ni liman = 0.
И-КО
I
s b о t i. (1) qator teorema shartiga ko ra yaqinlashuvchi bo'lganligi uchun
ai+a2+a3+
A
chekli son bo'ladi.
a „ = A - A - .
lima,, ■= Jim
An
- Ш п Д
= A - A = 0
ft—
n-*r>
n—ff>
lim
an =
0.
Bundan к о 'rinadiki, qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning и - hadining
n —>x
dagi
limiti 0 ga teng b o ia r ekan, bu shart qator yaqinlashuvchi bo'lishligi zaruriy sharti
bo la olmaydi. Bu degan so'z
n —> oc
da
n -
hadining limiti 0 ga teng bo'lgan
har bir
qator yaqinlashuvchi boiavermaydi.
1 • m i s о I. j + ^ + ^ + ...+ i+ ...+ = j r i qatomi garmonik qator deb ataladi, bu
I 1 5
П
n=l H
qatoming
n -
hadi a„ = - bo'lib,
n —> ac
da 0 ga intiladi-yu, lekin qatoming o'zi
ft
uzoqlashuvchidir.
I s b o t i :
~41~
I l l
1
,
1
f l
1
1 2 3
и
2 1,3 4
,
, 1
1
1
l W l
1
1
1
1
1
1
1
+ -- 1----h— H-- 1 + ----1-----1---- H----- 1-----h---- 1--- -----
,5 6
7
8
)
( 9 10 11 12 13 14 15 16
,
l f l
l H l l 1 I
+ ...)lH— + — 4— I + —
+ —
H----1—
2 U
4 )
(8 8 8 8
, 1 1
1
1
1
1
1
П
+ ---- 1--- - + ---- 1----- 1——
H----- 1- ---- 1— ■+*.., —
J 6 16 16 16 16 16 16 16j
. 1 1 1
. . .
- 1 H---- 1---- h---h ...1—
1 + 1 + 1 + ...+ — 00
2 2
2
Demak, bu qator uzoqlashuvchi.
