|
Matritsalarni elementar almashtirish
|
| bet | 6/17 | | Sana | 24.01.2024 | | Hajmi | 280,99 Kb. | | #144439 |
Bog'liq BMI-Matritsa BUXDUMatritsalarni elementar almashtirish.
Matritsalarni quyidagi almashtirishlar elementar almashirishlar deb ataladi.
a) faqat nollardan iborat satrni (ustunni) o’chirish;
b) ikkita satrni (ustunni ) o’rnini almashtirish;
c) bir satr (ustun)ni barcha elementlarini biror ko’paytiruvchiga ko’paytirib, boshqa satr (ustunlarni) mos elementlariga qo’shish;
g) satr ( ustun )ning barcha elementlarini noldan farqli bir xil songa ko’paytirish.
Elementar almashtirishlar matritsa rangini o’zgartirmaydi. Shu sababli, elementar almashtirishlardan foydalanib, matritsani dioganal elementlaridan tashqari elementlari nolga teng bo’ladigan ko’rinishga keltirish mumkin. Bu holda matritsa rangi dioganaldagi nolga teng bo’lgan elementlari soniga teng bo’ladi.
Xos va xosmas matritsalar ular haqidagi teoremalar.
Ta’rif: Barcha satr vektorlari chiziqli erkli matritsa xosmas (aynimagan)
matritsa, barcha satr vektorlari chiziqli bog’langan matritsa xos (aynigan)
matritsa deb ataladi.
Teorema: Xos matritsaga teskari matritsa mavjud emas.
Isbot: Faraz qilaylik, xos matritsa bo’lsin. U holda uning satr vektorlari chiziqli bog’langanligi sababli,bu satr vektorlardan biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalanadi. U holda matritsani satr vektorlardan biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalansa, u holda uning ixtiyoriy matritsasiga ko’paytirishdan hosil bo’lgan ko’paytma matritsaning ham xuddi o’sha nomerli satr vektorlari qolgan satr vektorlari orqali chiziqli ifodalangani kabi teoremaga muvofiq ko’paytma ham o’sha satr vektorlari qolganlari orqali chiziqli ifodalanadi. bo’lganligi sababli bu tasdiq ning satr vektorlari chiziqli erkli bo’lishiga zid keladi .
Demak, faqat xosmas kvadrat matritsalar mavjud bo’ladi.
Teorema: Xosmas matritsaga teskari matritsa mavjud va yagonadir .
Isbot: Matritsadagi satr almashtirishlarni chapdan biror matritsaga ko’paytirish deb qarash mumkin.
Teskari matrita
Ta’rif: matritsa uchun tenglikni qanoatlantiruvchi matritsa mavjud bo’lsa, u holda ni ga teskari matritsa deyiladi va u kabi belgilanadi.
ekanligi to’g’ri.
Agar matritsani teskarisi mavjud bo’lsa, u holda Agar monoidnning berilgan elementi uchun teskarisi mavjud bo’lsa, u yagonadir.
”monoid“ - agar yarim guruh elementiga ega bo’lsa, bunday yarim guruhga monoid deyiladi.
teskari matritsani birlik matritsa yordamida yechish .
tartibli kvadrat matritsaning bosh dioganali birlardan qolgan elementlari hammasi nollardan iborat ushbu
ko’rinishdagi matritsa birlik matritsa deyiladi va orqali belgilanadi. tartibli istalgan kvadrat matritsa uchun ishonch hosil qilish oson.
Ta’rif. Birlik matritsadan elementaralmashtirishlar natijasida hosil bo’lgan matritsa elementar matritsa deyiladi .
Quyidagilar ikkinchi tartibli elementar matrisalardir .
Bu yerda
Istalgan tartibli birlik matritsa satrlari (ustunlari) chiziqli bog’lanmagan bo’ladi, chunki elementar almashtirishlar matritsa rangini o ‘zgartirmaydi.
Teorema: Xosmas kvadrat matritsani elementar almashtirish yordamida birlik matritsaga keltirish mumkin.
Isbot: xosmas matritsani hamma satrlari nolmas satrlardan iborat, shu sababli harbir satrda noldan farqli kamida bitta element mavjud. matritsa quyidagicha ko’rinishda bo’lsin :
Elementar almashtirishlarni faqatgina satrlar ustida bajarib, ni birlik matritsaga keltirishimizni ko’rsatamiz .
sonlardan qaysi biri noldan farqli bo’lsa, o’sha element joylashgan satrni
satrni)
Birinchi satr bilan almashtiramiz. Shunday qilib, deya olamiz. Agar birinchi ustunda dan boshqa noldan farqli element bo’lsa,ularni birinchi satr elementlari yordamida nollarga aylantiramiz.
Natijada matritsa
ko’rinishga keladi. Endi deb faraz qilib, ning ikkinchi satrini larga ko’paytirib, natijalarni mosravishda satrlarga qo’shsak, matritsa,
Ko’rinishda bo’ladi bu jarayonni yana marta takrorlasak, matritsa
ko’rinishni oladi. Endi matritsani birinchi satrini ga ikkinchi satrni ga , …….., satrini ga ko’paytirsak
matritsa hosil bo’ladi. matritsada n- satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda satrni larga ko’paytirib, natijalarni mos ravishda 1,2,…,n-2 satrlarga va nihoyat 2-satrni ga ko’paytirib natijani 1-satrni birinchi satrga qo’shsak, matritsa ushbu
ko’rinishda bo’ladi.Oxirgi matritsa esa (birlik) matritsadir .
teskari matritsani algebraik to’ldiruvchilar yordamida yechish
a)uchta matritsalar ko’paytmasi assosativ;
b) ikkita turli xosmas matritsalar ko’paytmasi yana xosmas matritsadir .
v) xosmas matritsaga teskari matritsa mavjud va yagona degan teoremaga ko’ra har bir xosmas matritsa uchun yagona teskari matritsa mavjud.
g) har qanday birlik matritsa xosmas matritsa bo’ladi
bu shartlarni bajarilishi turli xosmas matritsalar to’plamini ko’paytirish amaliga nisbatan gruppa ekanini ko’rsatadi. Endi xosmas matritsaga teskari bo’lgan matritsani topishning quyidagi usulini bayon qilamiz:
va matritsalarni yonma-yon, ya‘ni ushbu
ko’rinishda yozib, ning ustida qanday elementar almashtirishlar bajarilsa, ning ustida ham o’sha elementar almashtirishlarni bajarish kerak. Bu jarayonni matritsa o’rnida birlik matritsa hosil bo’lguncha davom ettirib,
ko’rinishdagi matritsani hosil qilamiz. Bu matritsaning o’ng qismida ga teskari matritsa hosil bo’ldi, ya‘ni bo’ldi .
Misollar : xosmas matritsaga teskari matritsani toping.
matritsani dagi birinchi va dagi ikkinchi ustunini almashtiramiz
Birinchi ustunni ga va ga ko’paytirib ikkinchi va uchinchiga qo’shamiz. U holda
matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsada ikkinchi ustunni ga ko’paytirib birinchi ustunga ikkinchi ustunni ga ko’paytirib uchunchi ustunga qo’shamiz. U holda
matritsa hosil bo’ladi. Bu matritsa 3- ustunni 2-ustunga keyin esa 1- ustunga qo’shamiz va shu
Matritsa hosil qilamiz. Bu matritsa 3- ustunini ga ko’paytiramiz. Bunda
matritsani hosil qilamiz. Demak,
bo’ladi.Haqiqatdan ham,
kelib chiqadi.
|
| |
