|
Matematika fakulteti Matematika yo’nalishi 201-guruh talabasining
|
| bet | 9/17 | | Sana | 24.01.2024 | | Hajmi | 280,99 Kb. | | #144439 |
Bog'liq BMI-Matritsa BUXDU1.3. Qo’shma operatorlar.
chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga
akslantiruvchi chiziqli uzluksiz operator berilgan bo‘lsin, ya’ni
Bizga ixtiyoriy chiziqli chegaralangan funksional berilgan bo‘lsin. Bu funksionalning elementga ta’sirini qaraymiz Osongina ko‘rsatish mumkinki, funksional da aniqlangan biror chiziqli funksionalni aniqlaydi. Shunday qilib,
(1.3.1)
Endi (1.3.1) tenglik bilan aniqlangan funksionalning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz:
(1.3.2)
(1.3.2) tenglik barcha va ixtiyoriy lar uchun o‘rinli. Demak, chiziqli funksional ekan. Endi uning chegaralangan ekanligini (uzluksizligini) ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun
tengsizliko‘rinli. Buyerdan funksionalningchegaralanganligikelibchiqadi.
Agar funksionalning nuqtadagiqiymatini debbelgilasak, uholda
(1.3.3)
1.3.1-ta’rif.Bizga chiziqlinormalanganfazolarva chiziqlichegaralanganoperatorberilganbo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun
tengliko‘rinlibo‘lsa, operator gaqo‘shmaoperatordeyiladi.
Demak, harbir funksionalga (1.3.3) tenglikbilananiqlanuvchi funksionalnimosqo‘yuvchi operator operatorgaqo‘shmaoperatordebataladi.
Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:
1. operator chiziqli.
2.
3. Ixtiyoriy son uchun
4. Agar uzluksiz bo‘lsa, u holda ham uzluksiz bo‘ladi.
Aniqrog‘i, quyidagi tasdiq o‘rinli.
1.3.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va
tenglik o‘rinli.
Isbot. Operator normasining xossasiga ko‘ra,
Bu yerdan
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,
(1.3.4)
Endi shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo‘lsin, deymiz. Ko‘rinib turibdiki, Xan-Banax teoremasining 12.1-natijasiga ko‘ra, shunday funksional mavjudki, va ya’ni
Bu yerdan,
tenglikka ega bo‘lamiz. U holda
munosabatdan
(1.3.5)
tengsizlikni olamiz. (1.3.4) va (1.3.5) munosabatlardan
tenglik kelib chiqadi.
|
| |
