|
Matematika fakulteti Matematika yo’nalishi 201-guruh talabasining
|
| bet | 11/17 | | Sana | 24.01.2024 | | Hajmi | 280,99 Kb. | | #144439 |
Bog'liq BMI-Matritsa BUXDUII BOB. ASOSIY QISM.
Ushbu bobda Bitiruv malakaviy ish mavzusiga oid asosiy ma’lumotlar keltiriladi.
2.1. 2x2 sonli matritsaning xos qiymatlari.
Xarakteristik ildizlar va xos qiymatlar.
A = ( )—elementlari haqiqiy bo’lgan 2-tartibli kvadrat matritsa bo’lsin. esa biror noma’lum bo’lsin. U holda matritsa (bu yerda 2-tartibli birlik matritsa) matritsaning xarakteristik matritsasi deyiladi, matritsaning bosh diagonalida turganligi, qolgan barcha elementlari esa nolga teng bo’lganligi sababli
bo’ladi.
matritsaningdeterminant ning 2-darajali ko’phadi bo’ladi. Haqiqatan ham, bosh diagonaldagi elementlarning ko’paytmasi ning yuqori koeffitsiyenti ( bo’lgan ko’phadi bo’ladi. 2-darajali ko’phad matritsaning xarakteristik ko’phadi deyiladi, uning haqiqiy, shu bilan birga kompleks ham bo’lishi mumkin bo’lgan ildizlari esa bu matritsaning xarakteristik ildizlari deyiladi.
O’xshash matritsalar bir xil xarakteristik ko’phadlarga, binobarin bir xil xarakteristik ildizlarga ega.
Haqiqatan ham,
bo’lsin. U holda matritsa matritsa bilan o’rin almashinuvchan hamda
| ekanligini nazarga olib, ushbuni hosil qilamiz:
ana shuni isbotlash talab etilgan edi.
Bundan turli bazalarda chiziqli almashtirishni beruvchi matritsalar orasida quyidagi bog’lanish haqidagi teoremaga ko’ra:
,
bu yerda o’tish matritsasi va matritsalar.
Teorema: turli bazalarda bir xil chiziqli almashtirishni beruvchi matritsalar bir birlari bilan o’xshashdir. Bunda, chiziqli almashtirishning bazadagi matritsasi bu almashtirishning bazadagi matritsasini bazadan bazaga o’tish matritsasi bilan transformatsiyalash yordamida hosil qilinadi.Agar matrisa bazada chiziqli almashtirishni bersa, u holda matritsaga o’xshash istalgan matritsa ham biror bazada, chunonchi dan o’tish matritsasi yordamida hosil qilinadigan bazada almashtirishni berishini qayd qilib o’taylik. Agar va kvadrat matritsalar (bu yerda biror xosmas matritsa) tenglik orqali bog’langan bo’lsa, ular o’xshash matritsalar deyilishini qayd qilib o’taylik. Bunday holda matritsa matritsani matritsa bilan transformatsiyalash yordamida hosil qilingan deyilishning xos vektori bo’lib hisoblanmasligini ta’kidlaymiz.
chiziqli almashtirishning haqiqiy xarakteristik ildizlari (agar ular mavjud bo’lsa) va faqat ular, bu almashtirishning xos qiymatlari bo’ladi.
Haqiqatan ham, aytaylik, almashtirish bazada ) matritsaga ega bo’lsin:
(2.1.1)
vektor almashtirishning xos vektori bo’lsin:
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.2) va (2.1.3) tengliklardan ushbu tengliklar sistemasi kelib chiqadi:
(2.1.4) bo’lgani uchun sonlarning hammasi ham nolga teng emas.Shunday qilib, (4) ga ko’ra, chiziqli bir jinsli tenglamalar ushbu
(2.1.5)
sistemasining nol bo’lmagan yechimlari mavjud, shu sababli uning determinanti nolga teng:
(2.1.6)
Transponirlab,
(2.1.7)
ekanini topamiz, ya’ni xos qiymat haqiqatan ham matritsa uchun, binobarin, almashtirish uchun ham haqiqiy xarakteristik ildiz ekan.
Aksincha, son almashtirishning va demak, matritsaning ham istalgan haqiqiy xarakteristik ildizi bo’lsin. U holda (2.1.7) tenglik o’rinli bo’ladi, shu sababli (2.1.7) dan transponirlash natijasida hosil bo’lgan (2.1.6) tenglik ham o’rinli bo’ladi. Bu yerdan, chiziqli bir jinsli tenglamalarning (2.1.5) sistemasi nol bo’lmagan, shu bilan birga hatto haqiqiy yechimlarga ega ekanligi kelib chiqadi, chunki bu sistemaning barcha koeffitsiyentlari haqiqiydir. Agar bu yechimni
( ) (2.1.8)
orqali belgilaydigan bo’lsak, (2.1.4) tengliklar o’rinli bo’ladi. orqali fazoning bazada (2.1.8) koordinatalar satriga ega bo’lgan vektorini belgilaymiz; ekanligi ravshan. U holda (2.1.3) tenglik o’rinli, (2.1.4) va (2.1.3) dan esa (2.1.2) kelib chiqadi. Shunday qilib, xos qiymatga taalluqli bo’lgan vektor almashtirishning xos vektori ekan.Teorema isbot bo’ldi.
Agar kompleks chiziqli fazo qaralayotgan bo’lsa, u holda xarakteristik ildizlarning haqiqiy bo’lish talabi ortiqcha bo’lishini aytib o’taylik. Bunday holda quyidagi teorema isbot qilingan bo’lur edi: Kompleks chiziqli fazoni chiziqli almashtirishning xarakteristik ildizlari va faqat ular bu almashtirishning xos qiymatlari bo’ladi. Bu yerdan, kompleks chiziqli fazoda har qanday chiziqli almashtirish xos vektorlarga ega bo’lishi kelib chiqadi.
Qaralayotgan haqiqiy fazolarga qaytar ekanmiz, quyidagini qayd qilib o’tamiz: chiziqli almashtirish ning xos qiymatga taalluqli bo’lgan xos vektorlari to’plami chiziqli bir jinsli tenglamalar sistemasi (2.1.5) ning nol bo’lmagan haqiqiy yechimlari to’plami bilan usma-ust tushadi. Bu yerdan chiziqli almashtirishning xos qiymatga taalluqli bo’lgan xos vektorlari to’plami, bu to’plamga nol vektorni qo’shgandan so’ng, fazoning chiziqli qism fazosi bo’lishi kelib chiqadi.
Ko’pgina hollarda berilgan chiziqli almashtirish biror bazada diagonal matritsaga ega bo’ladimi-yo’qmi ekanligini bilish zarur bo’lib qoladi.Darhaqiqat, har qanday chiziqli almashtirish ham diagonal matritsa orqali berilavermaydi. Dastlab quyidagi yordamchi natijalarni isbot qilamiz:
Agar bazaning barcha vektorlari chiziqli almashtirishning xos vektorlari bo’lsa, u holda va faqat shu holda almashtirish bu bazada diagonal matritsa orqali beriladi.
Haqiqatan ham,
tenglik ko’rsatilgan bazada almashtirishni beruvchi matritsaning satridagi elementlari ichida bosh diagonaldan tashqaridagi hamma elementlari nolga tengligiga, bosh diagonalda (ya’ni o’rinda) esa son turadi deyilishiga teng kuchlidir.
chiziqli almashtirishning turli xos qiymatlariga taalluqli bo’lgan bu xos vektorlari chiziqli erkli sistema tashkil etadi.
Bu da’voni k bo’yicha induksiya yordamida isbotlaymiz, chunki da u o’rinli: bitta xos vektor—xos vektor noldan farqli bo’lgani uchun-chiziqli erkli sistema tashkil etadi. Endi va da bo’lsin. Agar
(2.1.9)
chiziqli bog’lanish mavjud bo’lsa va bu yerda, masalan, bo’lsa,
u holda (2.1.9) ning har ikkala tomoniga almashtirishni tatbiq, etib quyidagini hosil qilamiz:
= 0.
Bu yerdan,
tengliklarni hosil qilamiz, bu vektorlar
orasidagi trivial bo’lmagan chiziqli bog’lanishni ifodalaydi, chunki
Agar haqiqiy chiziqli almashtirish ning barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy va har xil bo’lsa, u oddiy spektrga ega deyiladi. Demak, chiziqli almashtirish 2 ta har xil xos qiymatlarga ega bo’ladi, shuning uchun isbotlangan teoremaga ko’ra, fazoda almashtirishning xos vektorlaridan tashkil topgan baza mavjud.Shunday qilib, oddiy spektrli har qanday chiziqli almashtirish diagonal matritsa orqali berilishi mumkin.
Chiziqli almashtirishdan uni beruvchi matritsalarga o’tib, quyidagi natijani hosil qilamiz:
Barcha xarakteristik ildizlari haqiqiy va har xil bo’lgan har qanday matritsa diagonal matristaga o’xshashdir yoki boshqacha aytganda, bunday matritsa diagonal ko’rinishga keltiriladi.
Misollar:
Matritsaning xos qiymatlarini toping. Bu yerda birlik matritsa.
Yechish:
kvadrat tenglama ko’rinishiga kelgani uchun diskriminantni hisoblaymiz.
bundan esa,
ekanligi kelib chiqadi.
Javob: matritsaning xos qiymatlari 5 va 3 ekan.
Javob: matritsaning xos qiymatlari ekan.
matritsaning xos qiymatlarini toping.
matritsaning xos qiymatlarini toping.
|
| |
