Amaliy misollar yechishda uslubiy ko`rsatma

Download 1,63 Mb.
bet	8/10
Sana	27.05.2024
Hajmi	1,63 Mb.
	#254585

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bog'liq
Solijonov Barkamoljon KURS

Amaliy misollar yechishda uslubiy ko`rsatma
Differensial tenglama yechimining grafigini chizi
y’’’+x+0, y(0)=0, y’(0)=1, y’’(0)=1 oraliq x
> restart; with(DEtools):
> DEplot(diff(y(x),x$3)+x*sqrt(abs(diff(y(x),x)))+x^2*y(x)=0, {y(x)}, x=-4..5,
[y(0)=0,D(y)(0)=1,
(D@@2)(y)(0)=1]], stepsize=.1, linecolor=black, thickness=2);

2.3 Xususiy hosilali differensial tenglamalarni Maple da yechish usullari

Maple dasturining yangi versiyasi xususiy hosilalardagi ba’zi differensial tenglamalar sinfini analitik yechishga “qodir”. Shu maqsadda pdesolve (tenglamalar, o`zgaruvchilar) komandasi kiritilgan.
Misollar keltiramiz.
> restart;pdesolve( diff(f(x,y),x,x)+5*diff(f(x,y),x,y)=3, f(x,y) );

Ushbu tenglamani yechishda_F1, _F2 erkin funksiyalari mavjud.
> pdesolve( 3*diff(g(x,y),x)+7*diff(g(x,y),x,y)=x*y, g(x,y) );

Maple doimiy koeffitseyent ega bo`lmagan tenglamalardan ayrim turlarining yechimini topa oladi, misol
> pdesolve(y*diff(U(x,y),x)+x*diff(U(x,y),y)=0, U(x,y) );

Uchta mustaqil o`zgaruvchilardan U ning funksiyasi uchun turdosh bo`lmagan tenglama
> pdesolve( diff(U(x, y, z), x)+2*diff(U(x, y, z), y)+5*diff(U(x, y, z), z)=13*x*y*z, U(x, y, z) );

Navbatdagi ikkita misol matematik-fizika tenglamalari hisoblanadi.
Issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi
> restart;heat:=diff(u(x,t),t)-k*diff(u(x,t),x,x)=0;

Команда pdesolve ning "peshonaga" komandasi bu tenglamani yechmaydi, albatta > pdesolve(heat,u(x,t));

Bizga tanish bo`lgan o`zgaruvchilarni bo`lish usulini qo`llaymiz. Buning uchun dastlab o`rin almashtirish usulini amalga oshiramiz. > eq:=subs(u(x,t)=X(x)*T(t),heat);

Endi tenglamaning ikkala qismini X(x)*T(t) bo`lamiz.
> expand(eq/X(x)/T(t));

O`zgaruvchilarni bo`lamiz.
> sep:=(%)+(k*diff(X(x),x,x)/X(x)=k*diff(X(x),x,x)/X(x));

Olingan tenglikning o`ng va chap qismlarida har xil o`zgaruvchilarning funksiyalari turganligi sababli o`ng va chap qismlar doimiy kattalik hisoblanadi. > lhs(sep)=C;

Endi biz oddiy differensial tenglama va uning yechimiga ega bo`ldik.
> T_sol:=dsolve(%,T(t));

Xuddi shu yo`l bilan tenglikning o`ng qismini o`zgarmasga tenglashtiramiz
> rhs(sep)=C;

Olingan oddiy differensial tenglamaning yechimi quyidagicha.
> X_sol:=dsolve(%,X(x),explicit=true);

> map(subs,[X_sol],T_sol,X(x)*T(t));

> sol:=map(simplify,%);

Soddalashtirish maqsadida erkin o`zgarmaslar uchun aniq qiymatlarning o`rnini almashtirishni bajaramiz
> subs(C=k,k=1,_C1=1,_C2=1,sol);

> evalc(%);

Trigonometrik ko`rinishga o`tkazamiz
> convert(%,trig);

va soddalashtiramiz
> S:=evalc(%);

Endi birinchi yechimning grafigini qurish mumkun.
> plot3d(op(S),x=-5..5,t=0..5);

Birinchi yechimning to`g`riligini tekshiramiz. > simplify(subs(u(x,t)=sol[1],heat));

Yana bitta misol tariqasida to`lqinli tenglamani ko`rib chiqamiz. > restart;wave:=diff(u(x,t),t,t)-c^2*diff(u(x,t),x,x);

u(x,t) uchun yechim topamiz.
> sol:=pdesolve(wave,u(x,t));

Bu yerda _F1 и _F2 – erkin funksiyalar.Ularni f1 va f2 ning aniq funksiyalari bilan almashtiramiz.
> f1:=xi -> sech(-xi^2);

> f2:=xi -> piecewise(-1/2

Yechimdagi funksiyalarning nomini f1 va f2 ga almashtiramiz hamda с=1 ni qo`yamiz.
> subs(_F1=f1, _F2=f2, c=1, sol);

Aniq yechimga ega bo`lish uchun f1 va f2 u(x,t) qiymatlarni o`rniga qo`yamiz. > subs(%,u(x,t));

(x va t) ning funksiyasidagi olingan qiymatni o`zgartirish uchun unapply ning funksiyasini tadbiq qilamiz.
> f:=unapply(%,x,t);

Endi biz yechishning grafigini chizishimiz mumkin.
> plot3d(f, -10..10, 0..10, grid=[60,60]);

Biz grafikda to`lqinli tenglama yechimlarini ifoda etuvchi ikkita to`lqinni ko`ramiz.
Berilgan differensial tenglamalar sistemasi va boshlang`ich ma’lumotlar ro`yxati uchun DEplot3d komandasi sistema egri yechimining uch o`lchovli ko`rinishini bajaradi. Bunda sistema faqat bitta mustaqil o`zgaruvchiga ega bo`lishi shart. Ushbu komanda (DEplot komandasidan farqli ravishda) yordamida yo`nalishlar maydoni qurib bo`lmaydi.
Misol keltiramiz:
> with(DEtools):
>DEplot3d({D(x)(t)=y(t),D(y)(t)=-x(t)-y(t)},[x(t),y(t)],t=0..10, [[x(0)=0,y(0)=1],[x(0)=0,y(0)=.5]],scene=[t,x(t),y(t)],stepsize=.1, title=`Damped oscillations`,linecolour=t-sqrt(t));

PDEplot paketi komandasi xususiy hosilalarda tenglamalar yechimlari grafigini qurish imkoniyatini beradi. Bu funksiya P(x,y,u) * ko`rinishdagi birinchi tartibli D[1](u)(x,y) + Q(x,y,u) * D[2](u)(x,y) = R(x,y u) kvazichiziqli tenglamalar yuzasini quradi: bu yerda P, Q, va R faqat x, y, va u(x,y) larga bog`liq. Misollar keltiramiz pde1 := diff(u(x,y),x)*diff(u(x,y),y)-x*y+u(x,y)=0;

x-y tekislikda yakka radiusli aylanadan boshlang`ich egri chiziq sifatida foydalanib, biz PDEplot yordamida xususiy hosilalarda tenglamalar integrallashishi yuzasini tadqiq qila olamiz:
> pde1 := diff(u(x,y),x)*diff(u(x,y),y)-x*y+u(x,y)=0;

>
Download 1,63 Mb.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Download 1,63 Mb.