Matematika instituti boboraximova maxbuba ixtiyorovna atmosferadagi, suv muhitidagi va raqobat tizimidagi jarayonlarning fazoviy-vaqt

Download 1,07 Mb.
bet	30/34
Sana	02.02.2024
Hajmi	1,07 Mb.
	#150643
Turi	Referat

1 ... 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Bog'liq
АВТОРЕФЕР., Б. М. 30012024

Теорема 4. Предположим, что является решением (7) в области , и предположим, что существует константа удовлетворяющий

Тогда существуют положительные константы , , независящие от , для которых справедливы

Единственность решения доказана как и в первом параграфе.

Существовании решения. Прежде чем доказать существования решения, установим оценки норм Гёльдера и в . Пусть

Теорема 5. Пусть и предположим, что непрерывны в и удовлетворяет (7) в . Тогда

Более того, если слабые вторые производные существуют в , тогда существует , такой, что

Кроме того, предположим, что, удовлетворяющее (7) в , непрерывен со своими производными и Тогда

Теорема 6. В условиях теорем 3. и 4. существует решение , задачи (7).
Доказательство. Заметим, что мы установили необходимые границы типа Шаудера в норме Гёльдера, свободная граница является возрастающей функцией времени . Мы также показали гельдеровость и получил границы норм в . Поэтому мы можем завершить доказательство теоремы стандартными рассуждениями.
Теорема 7. Если , то
Доказательство: Сначала мы покажем, что . Предположим, что . Тогда существует , такой, что . Для этого фиксируем и рассматриваем следующую функцию . Из системы (7) следует, что

(8)
Мы доказали, что и .
По лемме 4.4 работы [Рао] задача (8) имеет лишь тривиальное решение, когда и оно имеет единственное положительное решение, когда где является основным собственным значением

(9)
Мы можем построить явно: . Если , затем . Далее доказывается, что . Следовательно Предполагая , получаем пороговое значение области, называемое критическим размером :
.
Замечание. Когда адвекция достигает критического значения , размер критической области становится бесконечным и вся популяция смывается вниз по течению.
В третьей главе исследуются реакционно-диффузионные модели экологических проблем. Пусть в начальный момент времени происходит выброс загрязнения в среду с некоторой концентрацией. Основное предположение модели заключается в том, что окружающая среда активно поглощает и перерабатывает загрязнения до определенного предела. Анализ этой модели показывает, что загрязнение окружающей среды в системе возможно по трем качественно различным сценариям. Во-первых, при низких выбросах загрязнений наблюдается стабильная ситуация загрязнения очищаемой среды. С увеличением мощности выбросов загрязняющих веществ устанавливается так называемая стабильная ситуация: в зависимости от внешних условий и случайных причин природа может находиться в удовлетворительном состоянии, но погибнуть. Третья ситуация – полное вымирание природы, экологическая катастрофа.
В первом параграфе главы рассматривается математическая модель взаимодействия загрязнения с окружающей средой .
Общая идея моделей взаимодействующих популяций может быть применена и к системе «загрязнение-природа».Сформулируем математическую модель взаимодействия загрязнений с окружающей средой с учетом конвективных и диффузионных процессов распространения загрязнений.
Предположим, что загрязнение находится в постоянном взаимодействии с окружающей средой; окружающая среда оказывает очищающее воздействие на загрязнения; система загрязнение-окружающая среда считается закрытой.
Пусть концентрация загрязнения (плотность биомассы) в момент времени в точке , является ограниченной областью в с гладкой границей и внешней нормалью , , .
Предлагаем модель в виде краевой задачи для двухкомпонентной нелинейной системы

(10)

Здесь – коэффициенты нелинейной диффузии, - логистический темп роста компонента, (где если если ) – трофические функции (или функции взаимодействия), - описывает распад и химическую трансформацию загрязнений (т.е. поглощение и переработку загрязнений), - термин, характеризующий разрушительное воздействие загрязнения на окружающую среду, - предельное значение концентрации загрязнения, - предельное значение биомассы, - темп роста концентрации загрязнения, - темпы роста концентрации загрязнения биомассы.
характеризует степень влияния природы на загрязнение: чем больше значение, тем меньше степень поглощения загрязнения живой природой и наоборот.
- степень влияния загрязнения на природу.
Мы предполагаем, что:
I. ограничены для любого ;
II. предполагаются положительными константами;
III. на .
Задача исследована по следующей схеме. Сначала доказана локальное существование и единственность решений. Далее устанавлены некоторые априорные оценки типа Шаудера и на их основе доказана глобальное существование и единственность решений.

Download 1,07 Mb.

1 ... 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Download 1,07 Mb.