|
Matematika instituti boboraximova maxbuba ixtiyorovna atmosferadagi, suv muhitidagi va raqobat tizimidagi jarayonlarning fazoviy-vaqt
|
| bet | 32/34 | | Sana | 02.02.2024 | | Hajmi | 1,07 Mb. | | #150643 | | Turi | Referat |
Bog'liq АВТОРЕФЕР., Б. М. 30012024В первом параграфе главы исследована двухфазная задача для параболической системы с периодическими граничными условиями.
Пусть обозначают нижнюю часть реки, а обозначают верхнюю часть реки. Тогда эволюция разновидностей описывается следующей задачей:
(16)
.
Коэффициенты и заданные функции удовлетворяют условиям:
1. - положительные константы;
2. Начальные функции удовлетворять условиям периодичности (4.1.5) и ,
, , , .
Априорные оценки и глобальная разрешимость
Лемма 7. Пусть функции и являются решением задачи (16). Тогда
Теорема 11. Пусть функции непрерывны в и вместе с производными и удовлетворяют условиям задачи (16). Тогда
А если также известно, что функции обладать в и суммируемые с квадратом обобщенными производными и , тогда
Пусть функции и непрерывны вместе со вторыми производными по и
Тогда
Доказательство. Обозначим
Дифференцируя далее уравнения задачи (16) по , получим
а начальные условия принимают вид
Чтобы найти граничные условия, перепишем уравнения в виде (17)
Далее дифференцируя по периодические условия , находим
(18)
Если в (18) использовать (17), то имеем
Вторые периодические условия дают
(19)
Таким образом, для и получается периодическая краевая задача. Далее, рассуждая так же, как в лемме 7, получаем первое утверждение теоремы11. Теперь приступим к доказательству второго утверждения теоремы 11.
Здес можно будет воспользоваться теоремой 3 [2]), где уравнение предполагается выполненным всюду в прямоугольнике за исключением, может быть, точек прямой Введем функцию
Тогда задачу (16) можно переписать в виде
(20)
.
В указанной (теорема 3[2]) теореме в силу наличия граничных условий , автор предлагает способ продолжения решения через боковые стороны нечетным образом. В нашем случае мы предлагаем продолжить функцию через боковые границы по правилу
Новая функция (сохраним обозначение ) во всех точках прямоугольников имеет непрерывную производную и удовлетворяет «расширенному» уравнению вида (20) с теми же свойствами, что и в условиях теоремы 11. (а также теоремы 3 [2]).
В этом случае внутренние оценки получаются в силу приведенной выше теоремы, а оценки до границ устанавливаются методом продолжения по выше указанному правилу .
Применяя метод получения к задаче для и найдем
Оценки для и получается из уравнений задачи (16).
Единственность решения задачи устанавливается с помощью принципа максимума. Используя установленные априорные оценки, доказываем теорему о разрешимости задачи
|
|
Bosh sahifa
Aloqalar
Bosh sahifa
Matematika instituti boboraximova maxbuba ixtiyorovna atmosferadagi, suv muhitidagi va raqobat tizimidagi jarayonlarning fazoviy-vaqt
|
