|
-misol. Birinchi taqqoslash alomatidan foydalanib qatorning uzoqlashuvchi ekanligini asoslang.
Yechish
|
| bet | 13/19 | | Sana | 30.11.2023 | | Hajmi | 0,66 Mb. | | #108619 |
Bog'liq Saidov Jahongir4.2-misol. Birinchi taqqoslash alomatidan foydalanib qatorning uzoqlashuvchi ekanligini asoslang.
Yechish. Berilgan qatorning hadlari, ikkinchi hadidan boshlab garmonik qatorning mos hadlaridan katta, garmonik qator esa uzoqlashuvchi. Demak, birinchi taqqoslash alomatiga ko‘ra berilgan qator uzoqlashuvchi.
Yuqorida isbotlangan teoremadan bir nechta foydali natijalar kelib chiqadi. Bunda biz (2) qator hadlarini musbat, (1) qator hadlarini nomanfiy deb qaraymiz.
4.1-natija. Agar (1) va (2) qatorlar uchun (k<) mavjud bo‘lsa, u holda (2) qatorning yaqinlashuvchi ekanligidan (1) qatorning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
4.2-natija. Agar (1) va (2) qatorlar uchun (0<k) mavjud bo‘lsa, u holda (2) qatorning uzoqlashuvchi ekanligidan (1) qatorning uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.
Yuqoridagi ikkita natijadan quyidagi natija kelib chiqadi:
4.3-natija. Agar (1) va (2) qatorlar uchun (0<k<) mavjud bo‘lsa, u holda (1) va (2) qatorlar bir vaqtda yaqinlashuvchi, yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo‘ladi.
4.3-misol. qatorni qator bilan taqqoslaymiz.
nisbatni ko‘ramiz. Ma’lumki, . Demak, berilgan qator uzoqlashuvchi.
1-ta’rif. Ushbu
(1)
bu yerda musbat sonlar, qator ishoralari navbatlashuvchi qator deyiladi.
Ishoralari navbatlashuvchi qatorlar uchun quyidagi teorema o‘rinli:
4.4-Teorema . Agar ishoralari navbatlashuvchi
qatorda
1) qator hadlarining absolyut qiymatlari kamayuvchi, ya’ni
(2)
bo‘lsa,
2) qatorning umumiy hadi da nolga intilsa:
(3)
u holda (1) qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Isboti. , ya’ni juft bo‘lsin. U holda S2m ni quyidagicha yozib olamiz: . (2) shartga ko‘ra u2m-1-u2m>0 (m=1,2,…), demak va xususiy yig‘indilar ketma-ketligi { } o‘suvchi bo‘ladi.
Endi xususiy yig‘indini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
.
Yana (2) shartga ko‘ra tengsizlikni hosil qilamiz.
Shunday qilib, { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan. Demak, , shu bilan birgalikda
Endi toq indeksli { } xususiy yig‘indilar ketma-ketligi ham S limitga intilishini ko‘rsatamiz.
Haqiqatan ham,
= +
bo‘lgani uchun da
= + = =
ga ega bo‘lamiz, bunda (3) shartga ko‘ra
Demak, , qator yaqinlashuvchi.
|
| |
