|
Matrisalar. Ular ustida amallar. Determinantlar va ularning xossalari
|
| bet | 6/7 | | Sana | 14.05.2024 | | Hajmi | 195,27 Kb. | | #232036 |
Bog'liq mavzu 73 - tartibli determinantlar.
(4)
ifodaga 3- tartibli determinant deyiladi va bilan belgilanadi. elementlar bosh diagonalni,
yordamchi diagonalni ifodalaydi. (4) tenglikda 2- tartibli determinantlarni kattaliklari bilan almashtirsak
(5)
bo’ladi. (5) formulani esda saqlash uchun uchburchak qoidasidan foydalanish mumkin. Elementlarni nuqtalar bilan belgilasak, ushbu sxema hosil bo’ladi :
(+) ishora bilan, (-) ishora bilan olinadi.
Minor va algebraik to’ldiruvchilar
determinantda - satrni va - ustunni o’chirishdan 2- tartibli determinant hosil bo’ladi, bunga elementga mos minor deyiladi va bilan belgilanadi. Masalan,
va boshqalar.
elementning algebraik to’ldiruvchisi deb unga mos minorning musbat yoki manfiy ishora bilan olingan kattaligiga aytiladi,bunda juft bo’lsa, musbat ishora bilan, toq bo’lsa manfiy ishora olinadi. elementning algebraik to’ldiruvchisini bilan belgilanadi. Demak,
bo’ladi va boshqalar.
Determinantlarning xossalari.
Determinantlar quyidagi xossalarga ega:
10. Determinantning barcha satridagi elementlarini mos ustunelementlari bilan almashtirilsa uning kattaligi o’zgarmaydi, ya’ni
.
1-misol.
bo’lib, bu determinantda barcha satrlarini mos ustunlar bilan almashtirsak,
bo’ladi. Bundan ko’rinadiki, ikkala holda ham bir xil kattalik hosil bo’ldi, bu birinchi xossaning to’g’riligini ko’rsatadi.
20. Ikkita satr (ustun)ni o’zaro almashtirilsa determinant kattaligining ishorasi teskarisiga o’zgaradi; haqiqatan ham 1- misoldagi determinantda 1-satrini 3-satri bilan o’zaro almashtirsak,
bo’lib, bu 2-xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.
30. Ikkita bir xil satr (ustun)li determinant kattaligi no’lga teng;
ikkita satri bir xil bo’lgan determinantni hisoblasak,
bo’ladi, bu esa 3-xossaning to’g’riligini ko’rsatadi.
40. Determinantning biror satr (ustun) ning hamma elementlarini 0 songa ko’paytirilsa, uning kattaligi shu songa ko’payadi.
Haqiqatan ham, 1-xossada keltirilgan determinantning 2-satri elementlarini 2 ga ko’paytirsak,
bo’lib, bu xossaning ham to’g’riligi ko’rinadi.
50. Determinantning ikkita satri (ustuni) elementlari o’zaro proporsional (mutanosib) bo’lsa, uning kattaligi no’lga teng, misol uchun,
determinant berilgan bo’lsin. Bu determinantning 1 va 2-satri elementlari o’zaro proporsional, uni hisoblasak
bo’lib, bu esa 5-xossaning to’g’riligini ko’rsatadi.
60. Determinantning kattaligi, biror satri (ustuni) elementlarini unga mos algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib qo’shilganiga teng. 1-xossada keltirilgan misolni qaraymiz:
bu determinantni 3-satr elementlari bo’yicha yoyib yozsak,
kelib chiqadi, bu esa 6-xossaning ham o’rinli ekanligini ko’rsatadi.
70. Determinant biror satri (ustuni)ning har bir elementi ikkita qo’shiluvchidan iborat bo’lsa, u holda bu determinant ikkita determinant yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni
.
Ushbu determinantni
quyidagicha almashtiramiz:
keyingi ikkita determinantni hisoblasak,
1-xossadagi misoldan ma’lumki, u 22 ga teng edi, keyingi ikki determinant yig’indisi ham 22ga teng bo’ladi,bu esa 7-xossaning o’rinli ekanligini ko’rsatadi.
80. Determinantning biror ustini (satri) elementlariga boshqa ustini(satri)ning mos elementlarini istalgan umumiy ko’paytuvchiga ko’paytirib qo’shilsa, uning kattaligi o’zgarmaydi, ya’ni:
.
Misol uchun,
determinantning 2-ustun elementlarini 2 ga ko’paytirib, 1-ustunning mos elementlariga qo’shib, hosil bo’lgan determinantni hisoblasak:
bo’ladi. Bu determinantning kattaligi 1- misolda hisoblaganimizdek 22 ga teng edi, bu esa 8-xossaning ham to’g’riligini ko’satadi;
Determinantlarning xossalaridan foydalanish ko’p hollarda qulay hisoblashlarga olib keladi. Ushbu misolni qaraymiz.
2-misol. determinantning kattaligini hisoblang.
Yechish. Bu determinantni uchburchak qoidasi bilan hisoblash ko’p xonali sonlar bo’lganligi uchun ancha noqulayliklarga olib keladi. Shuning uchun bu determinantni hisoblash uchun, uning xossalaridan foydalanishga urinamiz. Ikkinchi satr elementlarini -2 ga ko’paytirib 1-satr mos elementlariga qo’shamiz, bu holda ushbu determinant hosil bo’ladi:
hosil bo’lgan determinantni 1- satr elementlari bo’yicha yoyib,ushbuni
olamiz.Oxirgi determinant 2-satr elementlarini (-12) ga ko’paytirib 1-satr mos elementlariga qo’shib ushbu natijaga ega bo’lamiz:
Bu misoldan ko’rinadiki, determinantlarni hisoblashda uning xossalaridan foydalanish ancha qulayliklarga olib keladi.
3 –tartibli determinantni diagonallar usuli deb ataluvchi ushbu usul bilan ham hisoblash mumkin:
1-misoldagi determinantni diagonal usulidan foydalanib hisoblasak,
bo’ladi.
- tartibli determinantlar haqida.
Ko’pgina masalalarni yechishda 2 va 3-tartibli determinantlardan tashqari yanada yuqori tartibli determinantlar ham uchraydi. Masalan, 4-tartibli determinant ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Umumiy holda -tartibli determinant
ko’rinishda bo’ladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to’ldiruvchilaridir. Ma’lumki, algebraik to’ldiruvchilar ning tartiblari bo’ladi. Determinantlarning hamma xossalari -tartibli determinant uchun ham o’rinlidir.
Yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda determinantlarning 6-xossasidan foydalanib, uning tartibini pasaytirish bilan 3 yoki 2-tartibli determinantlarga keltirib hisoblanadi. Masalan, 4-tartibli determinantni 1-satr elemenlari bo’yicha yoysak ushbu ko’rinishda bo’ladi:
Bundan yuqori tartibli determinantlarning ham kattaligi yuqoridagiga o’xshash hisoblanadi. Masalan, 6-tartibli determinantning kattaligini hisoblash kerak bo’lsa, uni biror satri yoki ustuni elementlari bo’yicha yoyib 5-tartibli determinantlarga, keyin o’z navbatida 5-tartibli determinanatlarni ham biror satri yoki ustuni elementlari bo’yicha yoyib, 4-tartibli determinantlarga keltiriladi va hokazo.
Determinantlarning yuqorida ko’rsatilgan xossalari hamma tartibli determinantlar uchun ham to’g’ri. Endi yuqori tartibli determinantlarni hisoblashga misol qaraymiz. Ushbu determinantning kattaligini hisoblang.
Yechish. Berilgan determinantni 1-satr elementlari bo’yicha yoyib hisoblaymiz:
Determinantlarni hisoblashda uning biror satri yoki ustunlarida no’llar ko’proq bo’lsa, o’sha satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyib hisoblash ancha qulaylik keltiradi, masalan, yuqoridagi misolda 1-satr elementlari bo’yicha yoyganimiz uchun, ya’ni unda 2 ta no’l element bo’lgani uchun 2 ta 3- tartibli determinantlarni hisoblab chiqishga hojat qolmadi. Bunday satr yoki ustunlar bo’lmasa determinantlarning 8-xossasidan foydalanib, uni bunday satrga yoki ustunga ega bo’ladigan qilib o’zgartirish mumkin, misol uchun ushbu
determinantni hisoblaylik. Buning uchun 1-ustun elementlarini oldin 2 ga keyin mos ravishda 5 ga, -4 ga ko’paytirib, 2,3 va 4- ustunlarning mos elementlariga qo’shamiz, bu holda:
bo’lib, keyingi 3-tartibli determinantni 2-satr elementlari bo’yicha yoysak:
bo’ladi.
|
| |
