|
Matrisaning rangi va uni hisoblash
|
| bet | 4/7 | | Sana | 14.05.2024 | | Hajmi | 195,27 Kb. | | #232036 |
Bog'liq mavzu 73.Matrisaning rangi va uni hisoblash.
o’lchovli matrisada satr va ta ustunini ajratamiz, bunda, va sonlardan kichik yoki ularning kichigiga teng bo’lishi mumkin. Ajratilgan satr va ustunlarning kesishuvida hosil bo’lgan -tartibli determinantga matrisaning -tartibli minori deyiladi.
Ta’rif. matrisaning 0 dan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga matrisaning rangi deyiladi. matrisaning rangi yoki bilan belgilanadi.
Matrisa rangini bevosita hisoblashda ko’p sondagi determinantlarni hisoblashga to’g’ri keladi. Quyidagi amallardan foydalanib matrisa rangini hisoblash qulayroq. Matrisada: 1)faqat 0 lardan iborat satri (ustuni)ni o’chirishdan; 2) ikkita satr (ustun)ning o’rinlarini almashtirishdan;
3) biror satr (ustun)ning elementlarini biror songa ko’paytirib, boshqa satr (ustun) mos elementlariga qo’shish; 4) matrisani transponirlashdan, uning rangi o’zgarmaydi. Bu amallarga odatda elementar almashtirishlar deyiladi.
1-misol.
matrisaning rangini hisoblang.
Yechish. matrisaning rangini hisoblash uchun elementar almashtirishlardan foydalanamiz. Birinchi satr elementlarini ikkinchi satr elementlariga, birinchi satr elementlarini (–2)ga ko’paytirib, uchinchi satr elementlariga, hamda uchinchi satr elementlarini to’rtinchi satr elemntlariga qo’shib quyidagi matrisani hosil qilamiz:
Keyingi matrisada 2-satrini (–1) ga ko’paytirib to’rtinchi satriga qo’shsak
matrisa hosil bo’ladi. Bu matrisada
bo’lib, to’rtinchi tartibli minorlar 0 ga teng. Shunday qilib, berilgan matrisaning rangi 3 ga teng.
4. Teskari matrisa va uni topish.
kvadrat matrisa uchun birlik matrisa bo’lsa, kvadrat matrisa matrisaga teskari matrisa deyiladi. Odatda, matrisaga teskari matrisa bilan belgilanadi.
Teorema: kvadrat matrisa teskari matrisaga ega bo’lishi uchun matrisaning determinanti 0 dan farqli bo’lishi zarur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq dasturli kurslardan topish mumkin, masalan, V.Ye.Shneyder va boshqalar. «Oliy matematika qisqa kursi» 1tom. T. O’qituvchi. 1985. 407 b.)
kvadrat matrisa uchun bo’lsa , unga teskari bo’lgan yagona matrisa mavjud.
matrisaga teskari matrisa
formula bilan topiladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to’ldiruvchilari va .
Teskari matrisani topishga misol qaraymiz.
2-misol. Ushbu
matrisaga teskari matrisani toping.
Yechish. Oldin matrisaning determinantini hisoblaymiz:
Yuqoridagi teoremaga asosan teskari matrisa mavjud, chunki
ya’ni, berilgan matrisa maxsusmas matrisadir. ni topish uchun matrisa hamma elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
Teskari matrisani topish
formulasiga asosan
bo’ladi. teskari matrisaning to’g’ri topilganligini
tenglikning bajarilishi bilan tekshirib ko’rish mumkin, haqiqatan ham,
ya’ni, birlik matrisa hosil bo’ladi, bu teskari matrisaning to’g’ri topilganligini isbotlaydi.
|
| |
