Fundamental fanlarni rivojlantirish istiqbollari
Международная научно-техническая конференция «Практическое применение технических и
цифровых технологий и их инновационных решений», ТАТУФФ, Фергана, 4 мая 2023 г.
381
Biz ikkita tebranishli giperbolik tipdagi kvaziziqli tenglamaga e'tibor
qaratamiz. Tenglama quyidagi shaklda yozilishi mumkin:
utt
−
c
2
uxx
+
f
(
u
)+
g
(
u
,
t
)=0,
bu yerda $u(x,t)$ nomaʼlum funksiya, $c$ toʻlqin
tezligini ifodalovchi
konstanta, $f(u)$ $u$ ga bogʻliq boʻlmagan chiziqli funksiya va $g(u,t) )$ - bu
$u$ va vaqt $t$ ga bog'liq bo'lgan bezovtalik. Maqsadimiz ushbu tenglama
yechimlarining xossalarini o'rganish va uni yechishning sonli usullarini ishlab
chiqishdir.
Matematik tahlil:
Tenglamani tahlil qilish uchun birinchi navbatda $g(u,t)=0$, ya'ni buzilish
bo'lmagan holatni ko'rib chiqamiz. Bunday holda, tenglama klassik to'lqin
tenglamasiga tushadi:
utt
−
c
2
uxx
+
f
(
u
)=0.
$ belgisi matematik ifodalar yoki o'zgaruvchilarni
belgilash uchun
ishlatiladi. Matematik yozuvda $ dan matematik ifodalar yoki oʻzgaruvchilarni
alohida satrga yoki alohida tenglama muhitiga qoʻyishdan koʻra, matn bilan
birga belgilash uchun foydalanish odatiy holdir. Masalan, $u(x,t)$ nomaʼlum
funksiyani, $c$ doimiyni, $f(u)$ va $g(u,t)$ esa yechim va vaqtga bogʻliq
boʻlgan chiziqli boʻlmagan funksiyalarni ifodalaydi. [1]
To‘lqin tenglamasi adabiyotlarda keng o‘rganilib, uni yechish uchun
ko‘plab analitik va sonli usullar ishlab chiqilgan. Xususan, to'lqin
tenglamasi
$c$ doimiy tezlikda tarqaladigan va to'lqinga o'xshash xatti-harakatlarga ega
bo'lgan echimlarga ega ekanligi hammaga ma'lum.
Endi $g(u,t)\neq 0$ bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz. Bunday holda,
buzilish tizimning dinamikasiga ta'sir qiladi va echimlarning yanada murakkab
xatti-harakatlariga olib kelishi mumkin. Yechimlarning xususiyatlarini o'rganish
uchun biz ularning xatti-harakatlarini tavsiflovchi ba'zi
matematik natijalarni
olishimiz kerak.
Biz olishimiz mumkin bo'lgan muhim natijalardan biri bu yechimlarning
mavjudligi va o'ziga xosligi. Ushbu natijani isbotlash uchun biz qisman
differensial tenglamalar nazariyasidan energiya usuli va maksimal printsip kabi
ba'zi matematik vositalardan foydalanishimiz kerak. $f(u)$ va $g(u,t)$ da mos
Песпективы развития фундаментальных наук
Международная научно-техническая конференция «Практическое применение технических и
цифровых технологий и их инновационных решений», ТАТУФФ, Фергана, 4 мая 2023 г.
382
sharoitlarda tenglama ayrim qonuniyat xossalarini
qanoatlantiradigan yagona
yechimga ega ekanligini ko'rsatishimiz mumkin.
Biz olishimiz mumkin bo'lgan yana bir muhim natija - bu muammoning
yaxshi qo'yilganligi. Yaxshi qo'yilganlik yechimning doimiy ravishda
boshlang'ich
va
chegara
ma'lumotlariga
bog'liqligini
anglatadi
va
ma'lumotlarning kichik buzilishlari eritmaning kichik buzilishlariga olib keladi.
Biz $f(u)$ va $g(u,t)$ da tegishli sharoitlarda muammo yaxshi qoʻyilganligini
isbotlashimiz mumkin. [3]
