§ 1.2. BIR NOMA’LUMLI TENGSIZLIKLARNI YECHISH
Tengsizliklarni yechishga misollar keltiramiz.
1- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:
x + 1 > 7 – 2x.
x son berilgan tengsizlikning yechimi, ya’ni x son x + 1 > 7 – 2x tengsizlikni to‘g‘ri tengsizlikka aylantiradi, deb faraz qilamiz.
–2x hadni tengsizlikning o‘ng qismidan chap qismiga uning ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirgan holda o‘tkazamiz, 1 sonini esa tengsizlikning o‘ng qismiga „—“ ishorasi bilan o‘tkazamiz.
Natijada ushbu
x + 2x > 7 – 1
to‘g‘ri tengsizlikni hosil qilamiz.
Bu tengsizlikning ikkala qismida o‘xshash hadlarini ixchamlaymiz:
3x > 6.
Endi tengsizlikning ikkala qismini 3 ga bo‘lib,
x > 2
ekanini topamiz. Shunday qilib, x ni berilgan tengsizlikning yechimi, deb faraz qilib, biz x > 2 ni hosil qildik. x ning 2 dan katta istalgan qiymati tengsizlikning yechimi bo‘lishiga ishonch hosil qilish uchun barcha mulohazalarni teskari tartibda olib borish yetarli. Aytaylik, x > 2 bo‘lsin. To‘g‘ri sonli tengsizliklarning xossalarini qo‘llab, ketma-ket quyidagilarni hosil qilamiz:
3x > 6,
x + 2x > 7 – 1,
x + 1 > 7 – 2x.
Binobarin, 2 dan katta istalgan x son berilgan tengsizlikning yechimi bo‘ladi.
J a v o b : x > 2.
Tengsizlikning yechilishini yozishda batafsil izohlarni keltirish shart
emas. Masalan, 1- masalaning yechilishini bunday yozish mumkin:
x + 1 > 7 – 2x, 3x > 6, x > 2.
Shunday qilib, tengsizlikni yechishda uning quyidagi asosiy
xossalaridan foydalaniladi:
1 - x o s s a . Tengsizlikning istalgan hadini uning bir qismidan ikkinchi qismiga, shu hadning ishorasini qarama-qarshisiga o‘zgartirgan holda o‘tkazish mumkin, bunda tengsizlik ishorasi o‘zgarmaydi.
2 - x o s s a . Tengsizlikningikkala qismini nolga tengbo‘lmagan ayni bir songa ko‘paytirish yoki bo‘lish mumkin; agar bu son musbat bo‘lsa, u holda tengsizlik ishorasi o‘zgarmaydi, agar bu son manfiy bo‘lsa, u holda tengsizlik ishorasi qarama-qarshisiga o‘zgaradi
Bu xossalar berilgan tengsizlikni boshqa, xuddi shunday yechimlarga ega bo‘lgan tengsizlik bilan almashtirishga imkon beradi.
Chiziqli tengsizlikka keltiriladigan bir noma’lumli tengsizliklarni yechish uchun:
1) noma’lum qatnashgan hadlarni chap tomonga, noma’lum qatnashmagan (ozod) hadlarni esa o‘ng tomonga o‘tkazish (1- xossa);
2) o‘xshash hadlarni ixchamlab, tengsizlikning ikkala qismini noma’lum oldidagi koeffitsiyentga (agar u nolga teng bo‘lmasa) bo‘lish (2- xossa) kerak.
2- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:
3(x – 2) – 4(x + 1) < 2(x – 3) – 2.
Tengsizlikning chap va o‘ng qismlarini soddalashtiramiz. Qavslarni ochamiz:
3x – 6 – 4x – 4 < 2x – 6 – 2.
Noma’lum qatnashgan hadlarni tengsizlikning chap qismiga, noma’lum
qatnashmagan (ozod) hadlarni esa o‘ng qismiga olib o‘tamiz (1- xossa):
3x – 4x – 2x < 6 + 4 – 6 – 2.
O‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:
–3x < 2
va tengsizlikning ikkala qismini – 3 ga bo‘lamiz (2- xossa):
Javob:
Bu yechilishni qisqacha bunday yozish mumkin:
3(x – 2) – 4(x + 1) < 2(x – 3) – 2.
3x – 6 – 4x – 4 < 2x – 6 – 2
3x – 4x – 2x < 6 + 4 – 6 – 2
–3x < 2
tengsizlikni qanoatlantiruvchi x sonlar to‘plami son o‘qida nur bilan tasvirlanadi. nuqta bu nurga tegishli emas, 1- rasmda u oq doiracha bilan, nur esa qiya chiziqchalar bilan hoshiyalangan.
x sonlarning, masalan, tengsizlikni qanoatlantiruvchi to‘plami ham nur deyiladi. x = 2 nuqta shu nurga tegishli. 2- rasmda bu nuqta qora doiracha bilan tasvirlangan.
3- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:
Yechish. Tengsizlikning ikkala qismini 6 ga ko‘paytiramiz:
Qavslarni ochamiz va o‘xshash hadlarni ixchamlaymiz:
Bundan
Bu tengsizlikning yechimlari to‘plami, ya’ni sonlar to‘plami 3- rasmda tasvirlangan.
Qaralgan misollarda tengsizliklar soddalashtirilgandan keyin noma’lum oldida turgan koeffitsiyent nolga teng bo‘lmagan chiziqli tengsizlikka keltirildi. Ayrim hollarda bu koeffitsiyent nolga teng bo‘lishi mumkin.
Shunday tengsizliklarga misollar keltiramiz.
4- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:
Tengsizlikning ikkala qismini soddalashtiramiz:
Bundan
Oxirgi tengsizlik x ning istalgan qiymatida to‘g‘ri bo‘ladi, chunki uning chap qismi istalgan x da nolga teng hamda 0 > – 5. Demak, x ning istalgan qiymati berilgan tengsizlikning yechimi bo‘ladi.
J a v o b : x — istalgan son.
5- m a s a l a . Tengsizlikni yeching:
Tengsizlikning chap qismini soddalashtiramiz:
Bundan
Oxirgi tengsizlik yechimga ega emas, chunki tengsizlikning chap qismi x ning istalgan qiymatida nolga teng hamda 0 > 1 tengsizlik noto‘g‘ri.
Demak, berilgan tengsizlik yechimga ega emas.
J a v o b : yechimlari yo‘q.
|
