4.Laplas almashtirishlari.
Laplas almashtirilishini qo’llash DT larni yechishdan algebraik tenglamalarni yechishga o’tish imkoniyatini beradi. Undan tashqari integrallash doimiylarini maxsus aniqlash zaruriyati kerak bo’lmaydi, o’ng tomoni ixtiyoriy bo’lgan bir jinsli bo’lmagan DT ning umumiy yechimi bira to’la topiladi, yani, y1(t) – umumiy va y2(t) – xususiy yechimlarni alohida –alohida topishga o’rin qolmaydi.
f(t) – Dirixle shartlarini (qaralayotgan intervalda uzliksiz va differentsiallanuvchi) qanoatlantiruvchi va t<0 da nolga teng bo’lgan haqiqiy o’zgaruvchi t ning haqiqiy funktsiyasi bo’lsin. Bu funktsiyani original (asl) deb ataymiz. Har bir original f(t) ga har doim p = αjω kompleks o’zgaruvchili F(p) funktsiyani moslab qo’yish mumkin. Moslash quyidagi integral ko’rinishida aniqlanadi:
(6)
(6) ning o’ng tomoni f(t) – funktsiyaning Laplas to’g’ri almashtirishi, F(p) – esa Laplas tasviri deyiladi. 1- jadvalda ba’zi funktsiyalarni Laplas tasvirlari keltirilgan.
Sistemaning dinamik xossalarini tadqiq etishda sistema o’zgaruvchilarini haqiqiy argument t ning funksiyasiysida aniqlash talab etiladi. Shu sababli teskari masala yuzaga chiqadi: o’zgaruvchining tasviridan uning asliga qanday qilib o’tiladi.
Ma’lum tasvir Y(p) ga ko’ra y(t) originalni topishning eng umumiy usuli Laplasning teskari almashtirishini qo’llashdir:
Bu yerda Laplasning teskari almashtirish operatori.
Originalni asliga ko’ra aniqlashning eng sodda yo’li jadvallardan foydalanishdir. Bunday jadvallarda (masalan 2-jadval) birinchi-uchinchi tartibli DT ni yechishda ko’p uchraydigan tasvirlar va ularga mos originallar keltirilgan.
1- jadval.
Qator №
|
Original
x(t)
|
Laplas tasviri X(p)
X(p)=
|
1
|
|
|
2
|
birlik pog’onali signal
|
|
3
|
δ (t), birlik impulsli signal
|
|
4
|
,
darajali signal
|
|
5
|
,
impulsli signal
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
2-jadval
Jadvalda birinchi-uchinchi tartibli DT ni yechishda ko’p uchraydigan
tasvirlar va ularga mos originallar keltirilgan.
Qator №
|
Tasvir Y(s)
|
Original y(t)
|
1
|
|
|
2
|
|
|
3
|
|
|
4
|
|
|
5
|
|
|
6
|
|
|
7
|
|
|
8
|
|
|
9
|
|
|
10
|
|
|
11
|
|
|
12
|
|
|
13
|
|
|
14
|
|
|
15
|
|
|
16
|
|
|
17
|
|
|
5.Tenglamalarni chiziqlantirish
Bizga ma’lum bo’ldiki, boshqarish nazariyasi (BN) da chiziqli sistemalarni tadqiq etish metodlari juda yaxshi ishlab chiqilgan. Biroq, atrofimizdagi olamda to’laligicha chiziqli sistemalar mavjud emas. Shu sababli, bu metodlarni amalda qo’llash uchun chiziqlantirishni bajarish kerak. Chiziqlantirish – bu ob’ektning nisbatan real nochiziqli modeli asosida taqribiy chiziqli modelini qurishdir.
Algebraik tenglamalar. Suv bilan to’ldirilgan bakni tasavvur qilaylik. Bakning pastki qismida tirqish hosil qilingan bo’lib, u orqali suv oqib chiqadi. Bakning kesim yuzasini S bilan, tirqishning kesim yuzasini S0 bilan belgilaymiz.
Bakdagi suv sathi h (metr) va oqib chiqayotgan suv sarfi (m3/s) larni bog’lovchi modelni tuzamiz (quramiz). Bu bogliqlikni Bernulli qonuni yordamida topish mumkin. Bu qonun berilgan holda ushbu ko’rinishda bo’ladi:
. (1)
Bu yerda 𝞀 – suyuqlik zichligi (kg/m3), g = 9,8 m/s2 – erkin tushish tezlanishi, 𝝼 – suyuqlikning oqib chiqish tezligi (m/s).
(1) dan: . Suv sarfi bilan hisoblanishini e’tiborga olib:
(2)
Bu yerda – o’zgarmas kattalik.
Bu (2) statik model, negaki, u signalni vaqt bo’yicha o’zgarishini xarakterlovchi hosilalarga ega emas. Statik model barqaror holat (statik rejim) ni tavsiflaydi, qachonki, bakda suv sathi o’zgarishsiz saqlanadi va oqib chiqayotgan suv oqimi ham doimiy.
Ayonki, model (2) – nochiziqli, negaki unda mavjud. Uni chizqlantirish – (2) tenglamani taqriban chiziqli tenglama q = kh (biror koeffitsient) bilan almashtirishdan iborat. Bu k – koeffitsientni qanday tanlasa bo’ladi? Bu savolga aniq javob yo’q.
Faraz qilaylik, suv sathi 0 dan 1 m gacha intervalda o’zgarayotgan bo’lsin. Bu holda variantlardan biri – k koeffitsientni q egri chiziqni bu intervalni boshi va oxirgi nuqtalarini birlashtiruvchi kesmaning qiyalik burchagi sifatida aniqlashdir. Aniqlik uchun har doim deb qabul qilamiz, bu holda k = 1 ni olamiz.
Albatta, bu model o’ta qo’pol va katta xatolikni beradi, ayniqsa, 0,1 dan 0,6 gacha intervalda katta xatolikni beradi. Xatolikni kichraytirish uchun, k ni biroz o’zgartirishni (mas., uni 1,2 gacha kattalashtirib) sinab ko’rish mumkin, bunda yaqinlashish aniqligi avvalgidan ozgina yaxshilanadi, biroq, shunda ham yaqinlashish aniqligi avvalgidek yuqori emas. (rasm joylash kerak).
Endi, suv sathi o’rtacha qiymat h = 0,5 m atrofida (yaqinida) odatda oz o’zgaradi deb faraz qilaylik. Bu holda boshqa yondashuvni qo’llash mumkin. Ko’rish mumkinki, q egri chiziq, bu sohada () nuqtaga urinma bilan deyarli mos tushadi, bu urinmaning qiyalik burchagi ushbu hosilaga teng:
Urinma - bu k – qiyalikli, () nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq, uning tenglamasi q = kh +b ko’rinishga ega. Erkin had b ni ushbu tenglikdan aniqlaymiz:
Va ushbu modelni olamiz:
(3)
Bu chiziqli tenglama, ammo model (3) nochiziqli, negaki, u uchun mas., konstantaga ko’paytirish xossasi bajarilmaydi. Buni q[2h] va 2q[h] larni solishtirib, osongina tekshirish mumkin:
.
Superpozitsiya printsipi ham bajarilmaydi.
(3) dan chiziqli modelni olish uchun, urinmaning qiyaligini aniqlangan (h0; q0) ishchi nuqtadan og’ish tenglamasini yozish kerak. (3) dan kelib chiqadiki:
(4)
(3) bog’liqlikning grafigi (h0; q0) nuqtadan o’tganligidan, . Bunda (4) dan ushbuni topamiz:
. (5)
Shunday qilib olingan tenglama – bu ob’ektning chiziqli modeli bo’lib, u (h0; q0) ishchi (nominal) nuqtadan kirish va chiqishdan og’ish tenglamasidir. Taqribiy (5) model bu nuqtaning yaqinida katta aniqlikda mos keladi, bu nuqtadan katta og’ishlarda xatolik sezilarli kattalashishi mumkin.
Biz bu sodda misolda nochiziqli algebraik tenglamalarni chiziqlantirishning asosiy printsiplari bilan tanishdik. Keyinchalik shu g’oyalar nisbatan murakkabroq, sistemaning dinamikasini (vaqt bo’yicha o’zgarish) tavsiflovchi modellar uchun qo’llaniladi.
6.Differentsial tenglamalarni chiziqlantirish
Chiziqli bo’lmagan tenglamani (nochiziqli tenglamani) chiziqliga almashtirish chiziqlantirish deb ataldi. Bunda hamma o’zgaruvchilarning nochiziqli funktsiyalar ishchi nuqtalar atrofida (o’zgaruvchilarning barqaror qiymatlarida) Teylor qatoriga yoyiladi. Og’ishlar kichik deb hisoblash asosida qatorda og’ishlarning faqat birinchi darajalilari qoldiriladi, so’ngra olingan tenglamalardan muvozanat (statika) tenglamari ayriladi va og’ishlardagi chiziqlantirilgan tenglamalarning yozuvi olinadi.
Xususan, ikki o’zgaruvchining nochiziqli funktsiyasi F(x,y) ishchi nuqta () atrofida Teylor qatoriga ushbu formula bo’yicha yoyiladi:
Keltirilgan qatorning chiziqli qismi dastlabki uchta had bilangina aniqlanadi, kichik bo’lganligidan boshqa hadlarni e’tiborga olmaslik mumkin. Bu protsedurani sirt tenglamasini ko’rinishdagi tekislik bilan almashtirish kabi interpretastiya qilish mumkin.
Differential tenglama (DT) larni chiziqlantirish ABS larini matematik tavsifini tuzishda zaruriy bosqich hisoblanadi. Shu sababli bu protsedurani batafsil qarab chiqamiz.
Misol 1.3. Ob’ekt ikkinchi tartibli DT bilan tavsiflansin:
(1)
bu yerda – DT ning koeffitsientlari bo’lib, (1) dagi DT ning koeffitsientlari o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lganligidan, bu DT chiziqli bo’lmagan DT lat sinfiga kiradi. (1) DT ni nominal rejim atrofida chiziqlantiramiz.
Yechish.
ga koeffitsientlarning qiymatlarini qo’yamiz:
(2)
Barqarorlashgan (statik) rejimning tenglamasini (2) ga ni qo’yib olamiz. ga ega bo’lamiz, bundan:
. (3)
bo’lganida
ni chiziq1lantirish uchun uni hamma () o’zgaruvchilar bo’yicha () nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz.
(2) ni ushbu ko’rinishda qayta yozamiz:
F() (4)
Bu holda F() funktsiyani ikkinchi va yuqori tartibdagi kichikliklarni qo’shiluvchilarni e’tiborga olmasdan Teylor qatoriga yoyish ushbu ko’rinishga ega:
(3) ifodadan foydalanib va larni e’tiborga olib funktsiyaning va qatorga kiruvchi xususiy hosilalarning qiymatlarini topamiz. Ushbuga ega bo’lamiz:
Olingan natijalarni e’tiborga olib va belgisini tushirib qoldirib (3) tenglamani nominal rejimdan ( nuqta) og’ishlarda yozish mumkin:
(5)
(5) ifoda nochiziqli tenglama (4) bilan tavsiflanuvchi tadqiq etilayotgan ob’ektning chiziqlantirilgan DT hisoblanadi.
Chiziqlantirishning xatoligini statik rejimda baholash uchun nisbiy xato ni ushbu formula bo’yicha aniqlaymiz:
Bu yerda - y ning chiziqlantirilgan tenglama (5) ga muvofiq dagi hisoblangan statik qiymati. - chiziqli tenglama (4) ga ko’ra hisoblangan y ning qiymati.
Xatolik ning kirish ta’siri x ning qiymatiga bog’liqligi 1-rasmda tasvirlangan.
1-rasm.
bog’lanishning tahlili ko’rsatadiki, chiziqlantirishning xatoligi kirish signali x ni kattaligi o’zgarishining diapazoniga bog’liq. x ning 3 ABN ning asosiy metodologik qoidalari quyidagilar hisoblanadi:
BO va BQ larining boshqarish jarayonidagi faoliyatlarini bir-biriga uzviy bog’langan holda qarash zarur, negaki ular yaxlit ABS ni tashkil etadilar. Bu qoidada boshqarish masalalarini yechishda sistemali yondashuv zarurligi aks etgan.
ABS faoliyatini o’rganishda ularninf faqat barqaror (qaror topgan, o’rnatilgan) rejimlarini qarash bilan cheklanib qolmaslik zarur, bunday rejimlar nisbatan umumiy bo’lgan qaror topmagan (dinamik) rejimli hollarning xususiy holi sifatida qaralishi kerak. Shu bilan bog’liq holda ABS larini o’rganishning matematik apparati bo’lib differentsial tenglamalar (DT) bo’lishlari kerak.
ABS ning DT lari shu ABS larning matematik model (MM) larining matematik yozuvlari hisoblanadilar, bu modelda, qo’yilgan tadqiqot masalasini to’g’ri yechish uchun ularning alohida xususiyatlari aks etgan bo’lishlari kerak. DT larning juda ko’p turlari ichida faqat chiziqli differentsial tenglamalar (ChDT) gina umumiy yechish metodlariga egalar, shu sababli, ABS larining modellarini tuzishda har doim, qachonki bu mumkin bo’lsa, chiziqli matematik modellar tuzishga intilish kerak.
Chiziqli matematik modellarni qo’llashning amaliy maqsadga muvofiqligi shundan iboratki, tenglamalari koeffitsiyentlarining son qiymatlari oldindan ma’lum bo’lgan nochiziqli modellar amalda mavjud ABS larning faoliyatini faqat analiz (tahlil) ini amalga oshirishga imkon beradi xolos. Ammo, ABN ning eng avvalgi, bosh vazifasi sintezdan, yani, talab etilgan xossalarga ega bo’lgan ABS larini yaratishdan iborat. Afsuski, bunday masalani ABN ning formallashgan metodlari bilan texnologik jarayonlarni real nochiziqli ABS lari uchun amaliy maqbul ko’rinishda yechishni uddasidan chiqilmadi.
ABN konkret ABS larning fizikaviy tabiatlaridan abstraktsiyalangan MM lar bilan ish ko’radi, uning metodlari turlicha fizikaviy tabiatli sistemalarga qo’llanilishi mumkin [13].
7.Asosiy modellar
ABS ning ishlashini so’zlar bilan ham tavsiflash mumkin. So’zlitavsifsistemaning ishlash printsipini uning nimaga mo’ljallanganligini, faoliyatining xususuyatalarini va h.larni tushunishga yordam beradi. Ammo, eng asosiysi shundaki, u boshqarish sifatini miqdoriy baholashga imkon bermaydi, shuning uchun sistemalarning xarakteristikalarini o’rganishga va ABS larni yaratishga yaroqsiz. Uning o’rniga avtomatik boshqarish nazariyasida sistemalarning xossalarini tavsiflashning ancha aniq ushbu matematik metodlaridan foydalaniladi:
Statik xarakteristikalar,
Vaqtli xarakteristikalar,
Differentsial tenglamalar,
Uzatish funktsiyalari
Chastotaviy xarakteristikalar va b.
Bu modellardan ixtiyoriysi X kirish ta’siri, F g’alayon va Y chiqish ta’sirlariga ega bo’lgan bo’g’in ko’rinishida ko’rsatilishi mumkin (1.13-rasm). Kirish ta’sirida chiqish kattaliklari o’zgarishlari mumkin.
8.ABSlardagijarayonlarnio’rganishusuli.
Boshqarishjarayonlarinio’rganishdaushbuyondashuvqabulqilingan: ABSlarininghammaturlariniozmiqdordagistandartelementlar – dinamikbo’g’inlarningharxilkombinatsiyasisifatidaqarashmumkin.
Ixtiyoriy element o’zining kirish va chiqish orasidagi bog’lanish (aloqa) bilan xarakterlanadi. Bu bog’lanish elementdagi fizik jarayonlarni kirish va chiqish signallari o’zgarmas kattalik bo’lgandagi statik rejimda ham, kirish va chiqish signallari vaqtga bog’liq biror funktsiya bo’lgandagi dinamik rejimda ham aniqlaydi.
Statik rejimda kirish va chiqish kattaliklari orasidagi o’zaro aloqani elementning statik xossalari aniqlaydi, bu xossalarni ifodalovchi tenglamalarni statika tenglamalari (yoki statik xarakteristikalar) deyiladi. Dinamik rejimda kirish va chiqish kattaliklari orasidagi o’zaro aloqani elementning dinamik xossalari aniqlaydi va bu xossalar dinamika tenglamari (yoki dinamik xarakteristikalar) bilan ifodalanadi.
Dinamik va statik xarakteristikalarni farqlash lozim, negaki ular turli koordinatalarda chiziladi va sistemaning turli xossalarini tavsiflaydi. Turli kirish ta’sirlaridagi dinamik xarakteristikalar to’plamidan statik xarakteristikani aniqlash mumkin, ammo statik xarakteristika bo’yicha dinamik xarakteristikani aniqlash mumkin emas.
9.Dinamiksistematushunchasi.
Sistemaningsakrashsimonta’sirga (kirishsignaliga) reaktsiyasi (javobi) umumiyholdasakrashsimonbo’lmaydivanisbatansilliqroqfunktsiyabilantavsiflanadi. Bunday funktsiyaning ko’rinishi sistemaning dinamik xossalarini tavsiflaydi, dinamik xossaga ega bo’lgan sistemani o’zini esa dinamik sistema deyiladi.
Shunday qilib, dinamik sistemada ta’sir va javob vaqtning funktsiyalari bo’ladilarki, bunda javobning joriy qiymati faqatgina joriy qiymatning o’zi bilan emas, balki, ta’sirning oldingi qiymatlari bilan ham aniqlanadi, ya’ni sistema biron bir “xotiraga”ga, inertsiyaga ega.Dinamik sistemada o’tmishdan kelajakka sabab-oqibatli boglanish bo’ladi. Dinamik sistemaning matematik modeli bo’lib bir jinsli bo’lmagan differentsial tenglama (DT) yoki ayirmali tenglama xizmat qiladi, uning chap tomoni gavobga nisbatan, o’ng tomoni esa tashqi ta’sirga nisbatan yoziladi. Avtomatik sistema (AS) larning dinamik xarakteristikalarini tadqiq etish quyidagi operatsiyalarni bajarishni ko’zda tutadi:
AS ning turg’unlik (noturg‘unlik) faktini aniqlash;
AS ning bir holatdan boshqasiga o’tish sifatini tahlili;
AS ning barqaror rejimda aniqligini tadqiq etish.
AS ning bir holatdan boshqasiga o’tish jarayonini o’tishli jarayon deyiladi. Sistemaning o’tishli jarayonda o’zini tutishining tavsifini dinamik tavsiflar deyiladi. Binobarin, o’tishli jarayon sistemaning ixtiyoriy kirish ta’siriga reaktsiyasi, ya’ni javobidan iborat. AS ni tadqiq etilayotganda kirish ta’sirlarini shunday tanlash maqsadga muvofiqki, bunda o’tish jarayonida sistemaning hamma xossalari namoyon bo’lsin. Bunday ta’sirlar (ta’sir etishlar) tipik, namunaviy ta’sirlar deb ataladi:
impulsli;
darajali;
garmonik.
Sistemaning namunaviy ta’sirlarga javobi dinamik xarakteristikalar bilan baholanadi (1-rasm).
1-rasm. AS xarakteristikalarini tadqiq etishning umumlashgan sxemasi.
Bunday xarakteristikalar sifatida ko’pincha quyidagilardan foydalaniladi (1-jadval).
1-jadval
AS larning asosiy dinamik xarakteristikalari
Namunaviy
ta’sirlar va ularning
atalishlari
|
Xarakteristikalar
va ularning
atalishlari
|
x(t) = 1(t), birlik pog’onali funktsiya
(Xevisayd funktsiyasi)
|
y(t) = h(t), o’tishli funktsiya
|
x(t) = δ(t), impulsli funktsiya
(Dirak funktsiyasi)
|
y(t) = g(t), vaznli funktsiya
|
x(t) = A1Sinωt (garmonik funktsiya)
|
y(t) = A2Sin(ωt+φ) (chastotaviy xarakteristikalar)
|
Elementlarning dinamik xossalarini rasman tavsiflash uchun quyidagi usullardan foydalaniladi:
differentsial tenglamalar;
uzatish funktsiyalari W(p), differentsial tenglamalarning Laplas almashtrishlariga o’tish yo’li bilan olingan operator shaklidagi yozuvi;
vaqtli funktsiyalar, ma’lum ko‘rimishdagi chiqish signalining vaqt bo’yicha o’zgarishini tavsiflaydi;
chastotali xarakteristikalar, kirish signalining chastotasi o’zgarganida kirish va chiqish garmonik signallarining amplituda va fazalari orasidagi bog’liqlikni o’rnatadi.
ABS larning dinamik xossalarini DT va UF lar yordamida formal (shaklan) tavsiflash bilan bir qatorda quyidagi usullardan ham foydalaniladi:
vaqt funktsiyalari, ular ma’lun shakldagi chiqish signallarining vaqt bo’yicha o’zgarishlarini xarakterlaydilar;
chastotaviy xarakteristikalar, ular kirish signalining chastotasi o’zgarganida kirish va chiqish garmonik signallarining amplituda va fazalari orasidagi bog’lanishni ko’rsatadilar.
Dinamik bo’g’inlarning vaqt xarakteristikalariga o’tish va vazn funktsiyalari kiradi.
|
