J 2
= — [ ?
e~r rdrdtp
= —
w о 0
natijaga kelinadi. Demak qidirilayotgan integral
J =
-1
V
a
(C.2)
bo‘ladi.
Navbatdagi
Л» =
] e ~ x2x 2ndx
— oo
ko‘rinishdagi integral hisoblanadi. (C.2) formuladagi integralni
a
-
parametr bo‘yicha differensiallansa, quyidagi natijalami olish mumkin:
•Л =
J e~x x 2dx = — J ~ r ,
x
-
3
J 4 —
J
e~x x 4dx
= —
Jin
=
f
e - s2x lndx
=
^2n
l ^ 2n
Ё
ln
J
in
\
„.2
n-
^ 2"+1
Endi
340
J 2n+^ } e - ° - x x 2n+ldx
0
ko‘rinishdagi integralni hisoblash masalasini ko‘rib chiqaylik.
n = 0
bo‘lganida
2 a
J 0 = j e ш xdx
=
о
teng bo‘ladi.
a
-parametr bo‘yicha
J,
ni differensiallansa.
n\
J
2
n+\ = je~'a ' x 2nridx = -
2 a n+l
natija olinadi.
D ilova
Yim
(e -
Ф)
tipidagi sferik funksiyalar
M2 impuls moment kvadrati operatorining xususiy qiymatlarini
topish
masalasida
sferik
funksiyalar
uchun
yozilgan
ushbu
tenglamalariga duch kelinadi:
1
д ( .
1
a V
,
————
—\ s m f l
—— и ----- —------
7- + Jti> = 0.
(D ll
sm
в Ъ в \
д / 9 /
sm
~ в Ъ<р
Ushbu ilovaning asosiy maqsadi yuqoridagi tenglamaning xususiy
funksiyalarini aniqlash, ya’ni
в
va
0 < 9 < n ,
0 <
(p < 2
k
o ‘zgarish sohasida uzluksiz, bir qiymatli va chekli
yechimlarini topishdir.
Dastawal
в
va
\1/ = © ( в ) Ф ( ( р )
(D2)
(D2)ni (D l)ga qo'yganimizda o‘zgaruvchilami ajratishga olib keladi
agarda
341
d 2
Ф
d(p2
=
- m Ф
qabul qilinsa.Bu tenglamadan
Ф
m(
im
(D3)
(D4)
yechim kelib chiqadi.
Ф т
funksiya
(p
ning bir qiymatli funksiyasi
bo‘lishi uchun
m = 0, ±1, ± 2, . . .
( ° 5)
qiymatlami qabul qilishi kerak.
(D4) yechimni (D l) tenglamaga
qo‘yilsa va olingan natijani Ф ш ga bo‘linsa, 0 funksiyasiga nisbatan
quyidagi tenglama hosil qilinadi:
1
Э
( .
Э 0 ^
m2
s in 0 —
------ -—
i
Э0 J sin2 e
0 + A 0 = 0
(D6)
sin0
д в
0 funksiyasiyaning 0 o‘zgaruvchisi o ‘rniga yangi o ‘zgaruvchini
kiritsak, ya’ni
= c o s 0 , - 1 < £ <+1,
dE,
= - sin 0
dO
(D7)
bo‘lsa, u holda 0 funksiyasiy
^
o'zgaruvchining funksiyasi sifatida
qarash mumkin.U holda (D6) tenglamaning o ‘miga quyidagi tenglama
olinadi:
( l - < f 2) 0 " - 2 ^ 0 ' +
A —
m
.2
\
0
=
0
.
(D8)
l - < ? 2
(D8) tenglamaning 0
yechimlarini
? = ±1 maxsus
nuqtalar
atrofida ko‘rib chiqaylik.
Avvalo
<■>-+!
murojaat
qilinadi.
yangi o‘zgartuvchini kiritaylik. U holda (D8) quyidagi
tenglama olinadi:
z z + 2
A
m
0
=
0
.
(D9)
^ z ( z + 2) ' z 2( z
+ 2)2
0 ni yechimlarini
z
ning darajalari bo‘yicha qator shaklda izlanadi:
© =
z 7v, v = a0 + a xz + a2z 2 + . . , + a v z v + . . .
(DIO)
342
Birinchidan у ning darajasini aniqlab olish zarur, chunki qator bu
darajadan boshlanishi kerak.
z —> 0 da
в
=
a0z 7
у —2
bo‘ladi. Olingan yechimni (D9) tenglamaga qo‘yilsa va
darajaga
nisbatan cheksiz kichik darajali kattaliklami hisobga olinmasa, (D9)
tenglamadan
2"
a0z f ~ 2 =
0
ni hosil qilinadi va bu ifodadan
Y = + E
(D11)
2
natija kelib chiqadi. У ning shu qiymatini
С
= - 1 maxsus
nuqta
atrofidagi yoyilmasini olganida ham olish mumkin.Olingan yechimlar
£ = ±1 da chekli bo‘lishlari uchun (DIO) yoyilmada
\ m\
(D12)
2
_
m
_
m
boiishi kerak, ya’ni m > 0 da
Y
va m
< O bo lg anida/ ~
j"
boiishi kerak. (D ll) dagi ikkinchi yechim cheksizlikga teng boiadi.
Shunday qilib, © funksiyani
H
(D13)
0 = ( l - £ 2) 2 v
ко‘rinishida olish mumkin, bunda v ni
z
ning darajalari bo‘yicha qator
shaklida qarash kerak.Yechimni izlashda davom ettirishda vni
£ lar
b o icha qator shakilda qidirish ancha qulaylikga olib keladi, ya’ni:
v = i > , r .
«-=0
(D13) ni (D8) tenglikka qo‘yilsa
(1
- ^ 2 )
v" —
2(|
m
| + l)£v' + (A -
j
m \ - m 2 ) v
=
0
^
^
343
ifoda olinadi. Bu tenglikga (D14) dagi qatorni qo‘yilsa va £ ning bir
xil
darajalari
oldidagi
koeffltsiyentlami
tenglashtirilsa,
t\,
koeffitsiyentlami aniqlovchi rekurrent formula hosil qilinadi:
(v +2)(v +
1
)£v
+ 2
=[v(v — 1) + 2(|
m
| + l)v - A+1
m
|
+ m 2 ]hy
Agarda v =
k
(D14) dagi qator v =
к
raqamli qandaydir sonda uzilsa, u
holda v kattalik /c-darajadagi ko‘phad bo‘ldi. Demak, (D13) ifoda (D l)
tenglamaning uzluksiz, bir qiymatli va chekli yechimlari, yoki (D l)
tenglamaning xususiy funksiyalari bo‘ladi.
(D16) tenglikdan ko‘rinib turibdiki bu qator faqat
к ( к - 1 ) + 2 ( \ т \ + \ ) к - к + \ т \ + т
2 = О
teng bo‘lganidagina uzilishi mumkin. Demak,
Х = ( к + \ т \ ) { к + \ т \ + \ )
(017)
bo‘lishi kerak. Agarda
k + \ m \ = l
(D 18)
deb qabul qilinsa, A va
m
kattaliklar uchun qo‘uidagi qiymatlami qabul
qilinishini ko‘rish mumkin:
A = / (/ +1), / = 0,1, 2 ,3 , . . .
(D19)
\ m \ = 0 ,
1, 2, . . . , /
(D20)
Yuqoridagi olingan munosabatlardan shuni aytish joizki (D l)
tenglamaning boshqa xususiy funksiyalari mavjud emas.
Kiritilgan
I
va
m
xarakteristik
sonlarga
tegishli
bo‘lgan
0 yechimlami
0 ( € ) = Р/М ( € ) , € = cose
(D21)
orqali
belgilanadi.
Agarda
(D15)
tenglamani
С
bo‘yicha
differensiallansa I
m
| o ‘miga |
m
j +1 qatnashadigan tenglama hosil
qilinadi. Shuning uchun,
m - 0
dagi yechimni
) orqali belgilansa,
u holda
M
j
!»!
i f !( - £ 2) 2
(D22)
344
yechimni olish mumkin. Bunda
Pi
(<§) kattalik
I
darajaning Lejandr
ko‘phadi,
yoki
polinomi,
deyiladi.
Ushbu
polinom
oldidagi
koeffitsiyentni shunday normallashtiriladiki
Pl(
1) = 1
(D23)
boiish i kerak. (D16) tenglamadan |
m
|= 0 bo‘lganida
,
v (v + 1) — / (/ + 1 ) ,
K + 2 =
------ ----- ------
К
(D24)
(v + 2)(v +1) ^
1
’
ifoda olinadi. Ushbu hosil bo‘lgan ifodadan quyidagi natijalar kelib
chiqadi: agarda
bQ
*0 va
&i=0qilib tanlab olinsa, u holda
Р/
ko‘phad
ь
ning faqat musbat darajalaridan tashldl topgan bo‘ladi,
agarda
b0 =
0 va
bx Ф
0 bo‘lsa, u holda
P,
faqat toq darajalaridan tashldl
topgan bo‘ladi. / ning musbat qiymatlari berilganida
b0
ni tanlab
olihsa, yoki
I
ning toq qiymatlari berilganida
b\
ni tanlab olinsa,
Pt
ko‘phadning
barcha koeffitsiyentlami hisoblash imkoniyati paydo
bo‘ladi. Ushbu hisoblashlarda faqat (D23) tenglikni bajarilishini esdan
chiqarmaslik kerak. Shunday qilib,
olinadigan ko‘phad quyidagi
formula orqali berilishini tekshirish qiyin yemas:
P? & ) = № ) = -
T - 4 / -
2 ~ I)'
(025)
2 l - l \ d £ l
(D2), (D4) va (D21) ifodalar hisobga olinsa, (Dl) tenglamaning
quyidagi ko‘rinishdagi xususiy funksiyasini olinadi:
Ylm(e,
(D26)
bunda
N[m -
normallashtiruvchi koeffitsiyent. Hisoblashlar natijasida bu
koeffitsiyentning qiymati
\
(2/ + 1)
lm
]/
( l + \ m \ ) \ 4 n
ga teng bo‘ladi. Hosil bo‘lgan (D26)dagi funksiyalar
d,(p
sfera sirtida
ortogonal funksiyalaming to ‘liq sistemasini tashkil etadi. Shuning
uchun,
ixtiyoriy
kvadratik
integrallovchi
va
bir
qiymatli
у/(в,(р)
funksiyani
345
00
+/
У(в,<Р) = Х £
clmYlm{d,
l
~ 0
m=—l
qator shaklida ifodalash mumkin, bunda
Jt 2n
clm
= |
fv(0>
0 0
ga teng.
(D29)
(D28)
346
FOYDALANILGAN
a d a b i y o t l a r
1.
Б ло х т це в Д.И-
Основы квантовой механики - М., 1983.
2.
Левич В.Г., Вдовин Ю.А., Мямлин В.А.
Курс теоретической
физики. Т.2. М > 1971.
3.
Landay L.D., Lifshis Y.M.
Nazariy fizika qisqa kursi. T.2. Kvant
mexanikasi. Toshkent, 1979.
4.
Савельев И.В-
Основы теоретической физики. Т.2. Квантовая
механика. М-> 2005.
5.
Л ан дау Л.Д-, Лнфшиц Е.М.
Теоретическая физика. Т.З.
Квантовая механика. Нерелятивистская теория - М., 1989.
6.
Гречко А.Г., Сучаков В.И., Томашевич О.Ф., Федорченко А.М.
Сборник
задач
по теоретической физике. - М., Просвещение,
1979.
7.
Серова Ф.Г, Янкина А.А.
Сборник задач по теоретической
физике. - М., Просвещение, 1979.
8.
Vakil R.X.
Kvant mexanikasiga kirish.
0 ‘quv qo‘llanma.
“Oqituvchi”, 1989 Й.
9.
Д а вы д о в А. С.,
Квантовая механика - М., Наука, 1973.
10.
Qodirov О., Boydedayev A.,
Fizika kursi. Kvant fizika. 0 ‘quv
qo‘llanma. - Т., 2005.
11.
Галицкий ВМ-, и др.
Задачи по квантовой механике. Учебное
пособие - М - Наука, 1973.
12.
Мессиа А.
Квантовая механика - М., Мир, Том 1. 1978, Том 2.
1979.
13.
| 