(I
0 ^
' 0
a0
'
о
Г
7o =
Y,= -a.
V
0
у
■
7s =
- I
0
V
У
spinor ko‘rinishi:
(°
/o = L n U
(11.65)
atritsalar
olchamligi 2x2
О
- „ Л ^
J - I
0
\ I
О)’ ' '
\ a ,
0 ) ' r -
1,0
I )
Bu formulalarda matritsalaming har bir elementi, ham 2*2 matritsalar
ko‘rinishida olingan, cr, - Pauli matritsalari va /
b o igan birlik matritsadir.
(11.50) ni quyidagi ko'rinishda yozib olib:
(/у°Э0 + /уЭ -
m)j/
= 0
uni chapdan 7° ga ko‘paytiriladi:
(z<90
+ iy° yd — m y
0)
p
= 0.
Bu formulani (11.28) bilan taqqoslansa
a = 7 ° y , / 3 = 7 °
ekanligini ko‘rish mumkin.
Endi Dirak matritsalarining ermit qo‘shmalarini topaylik.
Gamiltonianning
H
= a p +
Pm
=
7
°yp + y°m
ermitligidan
kelib
chikadiki,
7°Y va 7° matritsalar
ham
ermit
matritsalari boiishi kerak:
( / y ) + =
Ikkinchi tomondan,
(11.66)
/ у , ( г ° У
= / •
(11.67)
333
( f Y i } = г ‘Уо>(у0} = ( ^ 7 0
tenglikni hisobga olinsa,
{ y J = 7 o 7 %
ekanligi topiladi. Oxirgi formula va (11.67) ning ikkinchi formulasini
quyidagi bitta formulaga birlashtirish mumkin:
{ r ^ Y = r oy %
(11-68)
Endi Dirak tenglamasining ermit qo‘shma ko‘rinishiga o ‘taylik.
Dirak tenglamasining chap tomonining ermit qo‘shmasini topaylik:
{ ( 'Г 'Ч ,
- m ) ^ \
=
( ~ i d x/r A+ ~ m
)
.
Bunda
V )*
д /x
ifoda
ni bildiradi. Agarda
¥ ~ ( ¥ Y Y
o
belgilash kiritilsa, unda Dirak qo‘shma spinori deyilgan
Щ
uchun
quyidagi tenglama olinadi:
W ^ n + m ) = 0
(11.69)
(11.34) uzluksizlik
tenglamasi
yangi
belgilashlarda quyidagi
ko‘rinishni oladi:
^ ( v r > ) = 0
(lh 7 0 )
bunda
/ =
е у у У
kattalik esa 4-tok zichligi rolini o ‘ynaydi.
334
ILOVALAR
A ilova
Asosiy fizik doimiylarning belgilanishi va qiymatlari
Nomi
Belgilanishi
Qiymati
Plank doimiysi
h
6 ,6 2 1 8 1 0
~u Dj-s
b
=
h/{In)
1,05459 10
-MD j-s
;
Vakuumda
yorug‘likning
tezligi
с
2,99792 - l O V / s
Elementar elektr
zaryad
e
1,60219
K!
Elektr doimiysi
e o
8,85419 10
~n F / m
Magnit doimiysi
,u o
= V
)
1,25664 10
-bGn/m
Gravitatsion doimiy
G
6,672-10~n Я ■
rn2 / kg2
Nozik struktura
doimivsi
a
=
e 2 ;!(4яе,fic)
1/137,036 = 7,29735 • 1 0 '3
Avogadro soni
X ,
6,02205 10
2ЪтоГ'
Faradey soni
F = N i -e
9,64846 ■
104
К) /то!
Bolsman doimivsi
к
1,38066 ■
l0~l:,D j/K
Universal gaz
doimiysi
>}
II
8,31441
Dj /(то! К)
Atom massa birligi
m u
1,66057 10’2,f e
Elektronning
tinchlikdagi
massasi
me
yoki
m
9,10953 10
''"kg
Protonning
tinchlikdagi
massasi
m
1,67265 -10
21 kg
Neytronning
tinchlikdagi
massasi
m„
1,67492-10
-1'kg
Elektronning
Kompton to‘lqin
uzunligi
Ar
=hJ{mc)
2,42631 - № 1!и
Elektronning
klassik radiusi
'I
r0 =
е г/ ( 4 к £ пт с 2)
2,81794
- I 0' 5m
j
Vodorod atomi
uchun Bor radiusi
a.(, = 4Ke(>h 2fJ m e 2)
5,29177-10
Am
i
Yadroning cheksiz
massasi uchun
Ridberg doimiysi
R„ = aj(4n -a0)
1,09737 •
101 m~'
j
Vodorod atomi
uchun Ridberg
doimiysi
Ru
1,09768 107m 4
i
Bor magnetoni
jlB
=ettj{2.m
)
9,27408
■
10 м Dj / T!
I
Elektronning
magnit momenti
9,28483 10
u Dj!Tl
Protonning magnit
momenti
f*P
1,411062-10'
26Dj / Tl
Neytronning
magnit momenti
-0 ,9 6 6 3 0 -
IQ'26 Dj / TI
j
Yadro magnetoni
H ,,
=
eh/{2mp )
5,05082
\ 0 21 Dj / Tl
j
В ilova
Delta- funksiya va uning xossalari
Bitta x o ‘zgaruvchiga bog'liq bo‘lgan delta funksiya, odatda,
S(x)
orqali belgilanadi.
5 (x )
funksiya Dirak tomonidan kiritilgan bo‘lib,
nazariy fizikaning turli masalalarini yechishda keng qo‘llaniladi. Ushbu
funksiya x o ‘zgaruvchiga nisbatan singular funksiya bo‘lib, x = 0
nuqtadan tashqari barcha qolgan nuqtalarda nolga teng b o ‘ladi, ya’ni
<5
(
a
)
= 0, agar x ^ O ,
8(x) = o°,
agar x = 0.
Boshqacha aytganda
b
j § ( x ) d x =
1,
yercja
a < 0 < b
(В. 1)
a
8 -
funksiyaning eng muhim xossasi quyidagi tenglik orqali ifodalanadi:
336
b
(В-2)
j f(x)5(x)dx
= / ( 0),
a
< 0 <
b
bunda
f {x)
funksiya
x o ‘zgaruvchining ixtiyoriy uzluksiz
funksiyasidir.
(B.2) dagi integralning
8
- funksiya xossalariga asoslangan holda,
bu funksiya faqat * = 0 nuqta atrofidagina muhim rol o ‘ynashi ko'nnib
turibdi. U holda x = 0 nuqtadagi
fix)
funksiyani integral belgisidan
tashqariga chiqarib bo‘ladi va qolgan integral (B .l) formulaga asosan
birga teng boiadi. (B.2) dagi integralni quyidagicha ham yozish
mumkin:
(B.3) integralidagi x = x0 nuqta integrallash sohasi ichida bevosita
joylashgan b o iishi kerak. Barcha uzluksiz funksiyalar uchun (B.3)
formula o ‘rinlidir, bu funksiyalar skalar, vektor, tenzor ko‘rinishida
b o iish i mumkin.
Kiritilgan delta- funksiyani matematikada kursida qabul qilingan
oddiy funksiya m a’nosida qarash mumkin emas. Hozirgi zamon nazariy
fizikada keng qollanadigan boshqa singular, yoki xosmas, funksiyalar
qatorida,
8 -
funksiya ham argumetining barcha qiymatlaridagi
kattaliklar orqali ifodalanmasdan, balki uning uzluksiz funksiyalar bilan
ko‘paytmalarini integrallash qoidasini berish orqali ifoda qilinadi.
Boshqacha aytganda, 5 - funksiya barcha formulalaming oxirgi
ko‘rinishlarida ishtirok etmaydi. Наг doim
8 -
funksiya yozilganda o‘zi
b o g liq b o igan o ‘zgaruvchilar bo‘yicha integrallashni nazarda tutiiadi.
Analitik
funksiyalar
ketma-ketligining
limiti
sifatida
5 -
funksiyaning oshkor ko‘rinishidagi tassavurlardan biridan foydalanish
o‘rinlidir. Bunday tassavurlardan birini
ь
(B.3)
a
77V
(B.4)
orqali ko‘rsatish mumkin.
337
sin(a-x)
a
— —— funksiya
x = 0
da — ga teng boiadi,
x
ning qiymati
ortgan sari bu funksiya — davr bilan tebranadi. -
00
<
x
< -н» oraligida
a
esa a ning qiymati qanday bolishiga bo g liq boim agan holda bu
funksiyadan olingan integral har doim birga teng boiadi. Shunday qilib,
a
“ da lim--n^ — ifoda
S-
funksiyaning barcha xossalariga ega
boiadi. (B.4) formuladan foydalangan holda
i j e “- A = 5 «
(
b
.5)
tenglikm isbotlash mumkin. Ba’zi qollanishlarda
s -
funksiyaning
boshqa tassavurlaridan foydalanishi mumkin, masalan:
rf(s) = l i m— —
— .
^B -6^
"—о
ж a" + x~
Ko‘p
hollarda
5
-
funksiyaning
tassavurlarini
turli
ortonormallashgan funksiyalar sistemasi orqali ifodalash maqsadga
muvofiqdir. Diskret spektrga tegishli b o igan
(t) funksiyalar uchun
(B.7)
.................... '
'
..................... /?-l
tenglik o ‘rinli boiadi. Uzluksiz spektrga xos bo igan ¥,,(*) funksiyalar
uchun esa
<5(x-x')=JxP’ (x)vFir(x,y F
(B.8)
boiadi.
Endi
S-
funksiyaning asosiy xossarini yozib chiqaylik:
5 (-x ) = t)(x)
(B.9)
xS(x)= 0
(B.10)
5(oa:)= Дт5бс)
M
(B11)
f ( x
)5
(x - a
) = /
(a
)8
(x - a)
(B.12)
J
8 (a
I
1 *
¥ I
I c*> IT
4
- b )
(B.13)
8{хг -
л 8 ( x - a ) + 8 ( x
2!a|
+ a)
(B.14)
338
Delta-funksiyadan olingan hosila
« г ' « = - « М
( B 1 5 )
munosabatni qanoatlantiradi.
Furye integrallari bilan ishlashda
S
-
funksiyadan keng foydalanish
mumkin. Masalan
f { x )
funksiyani Furye integraliga yoyilmasi
quyidagicha beriladi:
f ( x ) = f c ( k ) e * rdlk.
('ВЛ6)
(B.16)dagi
tenglikning
ikkala
tomonini
e
‘k* ga
ko‘laytirilsa,
keyinchalik
x
bo‘yicha integrallansa va (B.S)dan foydalanilsa:
J
/ ( x j e ^ ' d x
= j
c(k)e,{k~k ]xdkdx
= J
c(k)edk
j
c(k)e,(-^k >rdx =
= J
c{k)2n8(k — k')dk =2тгс(к')
natijaga kelinadi. Demak,
° ^ = 2n
^
kl dX
(B-17)
ifodaga kelinadi va (B.5) dagi formulani
S-
funksiyani Furye
integrallariga yoyilmasi sifatida qarash mumkin ekan.
С ilova
Ba’zi-bir integrallarni hisoblash
J = f e ~ ax2dx
ko‘rinishdagi integral Puasson integrali deyiladi va bizning vazifamiz
ulami hisoblashdan iborat. Bu integral ostidagi funksiya juft funksiya
bo‘lganligi sababli uni quyidagicha yozish mumkin:
339
bynda
a x 2
=
t
yangi o‘zgaruvchiga o ‘tildi. Yuqoridagi ifodalardan
foydalangan holda, quyidagi ayniyatni yozish mumkin:
CO
CO
A 00
00
Л
J 2
—
—
J*
d t
f
e~u du =
—J J
e
+/
^dtdu.
Ushbu
r “
=
u 2 + t 2 ,q>
=
ar ct g — , dt du
=
rdrdq>
qutb koordinatalariga o‘tilsa
П
| 