|
O‘zbekiston respublikasi oliy ta’lim, fan va innovatsiyalar vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi
|
| bet | 1/4 | | Sana | 25.05.2024 | | Hajmi | 103,92 Kb. | | #253917 |
Bog'liq KURS ISHI
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
MIRZO ULUG‘BEK NOMIDAGI
O‘ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI
Amaliy matematika va intellektual texnologiyalar fakulteti
Amaliy matematika va kompyuter tahlili kafedrasi
KURS ISHI
Mavzu: Epidemiyaning SIR modelini sonli tadqiq qilish
Bajardi: _____________ Ahmadov M.M.
Ilmiy rahbar: _____________ f.-m.f.d.,dots. Xaydarov A.T.
Qabul komissiyasining bahosi ______________________
Komissiya raisi: _____________ ________________________________
F.I.Sh.
Komissiya a’zosi: _____________ ________________________________
F.I.Sh.
Komissiya a’zosi: _____________ ________________________________
F.I.Sh.
Toshkent – 2024
REJA
I Kirish……………………………………………………………………………..3
II. Asosiy qism:
I bob. Matematik modellashtirish. Eyler va Eyler-Koshi usullari…………….10
1.1-§. Matematik model va modellashtirish. Statsional va nostatsional modellar…………………………………………………………………………...
1.2-§.Masalalarni EHMda yechish bosqichlari……………………………….11
1.3-§. Eyler va Eyler-Koshi usullari……………………………………………13
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati…………………………………………….15
KIRISH
Bugungi kunda epidemiyanig SIR modelini fizik, kimyoviy, biologik jarayonlarni o’rganish dolzarb va zarur hisoblanadi. Bunday jarayonlarni o’rganish, tadqiq qilish, modellashtirish, sonli yechish ushbu jarayonlarni samarali boshqarishda muhim ahamiyat kasb etadi.
Kasalliklarni matematik modellashtirish kasallikning tarqalish mexanizmlarini o'rganish uchun kuchli vositadir. Epidemiologik modellar kasallikning tarqalish dinamikasini bashorat qilish va baholash uchun asos bo'lib xizmat qiladi. Epidemiyani ushlab turish va nazorat qilish uchun epidemiyaning yuqori sifatli va adekvat matematik modellarini hisobga olish muhimdir. Hozirgi vaqtda matematik modellashtirish sohasidagi yutuqlar tufayli bu amalga oshirilishi mumkin bo'lgan vazifa hisoblanadi [85].
Epidemiyaning turli matematik modellari mavjud. Biz asosan SIR modeli, uning o'zgartirish va qo'shimchalari ko'rib chiqiladi.
Kermak-MakKendrik nazariyasi yuqumli kasallikning populyatsiyada tarqalishi haqidagi gipotezadir. 1927 yilda W. O. Kermak va A. G. MakKendrik o'z nazariyalarini [86] maqolada nashr etishdi va u SIR modelining manbasiga aylandi. Ushbu modelda populyatsiya doimiy hisoblanadi va uch guruhga bo'linadi: sog'lom yoki sezgir (ingliz tilidan susceptible), kasallar ya’ni aloqa qilish orqali yuqishi mumkin bo'lgan (ingliz tilidan infected), shuningdek tuzalgan va kasallik tarqatishni to’xtatgan shaxslar (ingliz tilidan recovered). Ushbu model hozirgacha o'z ahamiyatini yo'qotmagan va yuqumli kasalliklarni modellashtirish uchun juda mos keladi.
Biologiyada matematik modellar kitobida [87, p. 242-254] SIR-modeli, shuningdek, uning modifikatsiyalari yetarlicha batafsil koʻrib chiqiladi, masalan: SI-modeli, SIS-modeli, SIRS-modeli. Modellarning o'ziga xos xususiyati shundaki, tuzalib ketganidan keyin odam yana sezgir shaxslar sinfiga kirishi va qayta infektsiyaga moyil bo'lishi mumkin.
Herbert W. Hethcote maqolasida [88] populyatsiyalarda yuqumli kasalliklar tarqalishining ko'plab matematik modellari tahlil qilingan va muayyan kasalliklarga nisbatan qo'llanilgan. Ushbu maqolada ko'rib chiqilgan modellar klassik SIR modeliga asoslangan. Tug'ilish va o'limni hisobga olgan holda MSEIR modeliga katta e'tibor beriladi.MSEIR modelida aholi 5 sinfga bo'lingan: passiv immunitetga ega, sezgir, yashirin, infektsiyalangan va sezgir bo'lmagan. Agar ona infektsiyalangan bo'lsa, ba'zi antikorlar platsenta orqali o'tadi, shuning uchun yangi tug'ilgan chaqaloq infektsiyaga vaqtinchalik passiv immunitetga ega. Sinfda 𝑀 passiv immunitetga ega bolalar bor. Yangi tug'ilgan chaqaloqning tanasidan onaning antikorlari yo'qolgandan so'ng, bola sezgir shaxslar sinfiga o'tadi [88].
D.K.Muhamediyeva, Yu.Sh.Bakhramova, A.A.Akbarova larning maqolasida yuqumli kasalliklar tarqalishining matematik modellarini tavsiflash va tahlil qilish, ko’rib chiqilayotgan model asosida COVID-19 epidemiyasi tarqalishining matematik modelini qurish, tibbiy emlash olish epidemiya vaqtida yuqumli kasalliklar tarqalishiga qanchalik ta’sir qilishi ko’rib chiqiladi. Qaralayotgan model tibbiy emlash epidemiya davomiyligini qisqarishiga katta hissa qo’shishi ko’rsatiladi.
Yuqorida ko’rib o’tilganidek, epidemiya rivojlanishining turli matematik modellari ishlab chiqilgan va turli kasalliklarning (tif, vabo, ebola va boshqalar) tarqalishini tahlil qilishda qo’llanilgan. Ko’pgina modellar epidemiya modeli hisoblangan SIR modeli (S – sog’lomlar, I – kasallanganlar, R – tuzalganlar) va uning modefikatsiyalariga asoslangan [89].
Epidemiologiyaga oid tadqiqotlar 19-asrda sanitar shifokor John Snow tomonidan London vabo epidemiyasi (1849-1854) haqidagi kashshof tadqiqotlari bilan yaxshi yo'lga qo'yilgan. U epidemiologiyaning otasi sifatida tanildi, chunki u kasallikning etiologik qo'zg'atuvchisini bilmagan holda ham kasallikdan infektsiya manbasini aniqlay oldi [63]. Keyinchalik olim Louis Pasteur kasalliklarning etiologik omilini aniqladi, bu esa profilaktika va davolash choralarini joriy etishga imkon berdi [72].
Ilgari, ushbu tadqiqot sohasi o'lim va tug'ilish ko'rsatkichlarini aniqlagan XV asrda John Graunt kabi mutaxassislarning hissasiga ega edi [68]. O'n oltinchi asrda Lui Villerme qashshoqlik va yomon mehnat sharoitlarining aholi salomatligiga ta'sirini o'rgandi [43] va Per Lui klinik tadqiqotlarda epidemiologik usuldan foydalangan [56]. 1796 yilda Edward Jenner chechakka qarshi birinchi vaktsinani, virus kashf etilishidan deyarli yuz yil oldin kashf etdi. Yaxshiyamki, bu kasallik 1980 yilda ommaviy emlash tufayli sayyoradan butunlay yo'q qilindi [67]. 19-asrda Ignaz Semmelweis qo'llarning ifloslanishini yuqumli kasallik bilan bog'lagan birinchi sog'liqni saqlash mutaxassisi edi va u patogenlar tarqalishini kamaytirish uchun gigiena choralarini kiritdi, bu kasalxonalarda infektsiyadan o'lim sonini sezilarli darajada kamaytirdi [77].
Shuning uchun yuqumli kasalliklar inson hayotining hamma joyida. Kalamush burgasi orqali odamga yuqadigan bakteriya sabab bo'lgan bubonli vabo XIV asrda Evropaga etib bordi va 50 million kishi halok bo'ldi. Qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lgan va ifloslangan suv va oziq-ovqat orqali odamlarga yuqadigan vabo 19-asrning boshlarida yuz minglab odamlarning hayotiga zomin bo'lgan birinchi epidemiyaga ega edi. Sil kasalligi juda yuqumli, chunki u bir odamdan ikkinchisiga nafas yo'llari orqali yuqadi [58, 60]. Ushbu kasallik 1850-1950 yillar oralig'ida bir milliard odamni o'ldirdi, ammo kasallikning iz elementlari 7000 yil oldin skeletlarda topilgan. So'nggi yillarda infektsiya rivojlanmagan mamlakatlarda qayta ko'tarildi va hozirgi vaqtda bezgak bilan birgalikda ular dunyodagi eng muhim qayta paydo bo'lgan yuqumli kasalliklar hisoblanadi [80].
Yangi va eski yuqumli kasalliklar epidemiyalari, shuningdek, paydo bo'lgan va qayta paydo bo'lgan kasalliklar deb ham ataladi, vaqti-vaqti bilan paydo bo'ladi [57]. Ular o'limning asosiy sabablaridan biri bo'lib qolmoqda va inson xatti-harakatlari va atrof-muhitning buzilishi bilan bog'liq bo'lishi mumkin [25]. Ko'p yillar davomida insoniyatni qiynab kelayotgan vabo, vabo, sil, chechak, ispan grippi, dang isitmasi, OITS va boshqalar kabi ko'plab yuqumli kasalliklar mavjud. Ularning ko'pchiligi dahshatli epidemiyalarni keltirib chiqardi va/yoki tashvishli endemiklarni, ayniqsa tropik va rivojlanmagan mamlakatlar [60].
Yigirmanchi va yigirma birinchi asrlarning asosiy epidemiyalari virus tufayli yuzaga kelgan. Jahon sog'liqni saqlash tashkiloti (JSST) ma'lumotlariga ko'ra, dunyoda yuqumli kasalliklarning 17% dan ortig'ini vektor yuqadigan kasalliklar tashkil etadi va bu har yili 700 000 dan ortiq o'limga olib keladi. Ularning aksariyati dang, sariq isitma va Zika [80] kabi vektor orqali virus orqali yuqadi. Bunday infektsiyalar kam rivojlangan mamlakatlarning eng kambag'al aholisiga ko'proq ta'sir qiladi, ular e'tibordan chetda qolgan tropik kasalliklar deb tasniflanadi [80]. Masalan, Zika virusi 1947 yilda Ugandadagi Zika o'rmonidagi primatlar orasida aniqlangan, ammo asosiy epidemiya Braziliyada 2015 va 2016 yillarda sodir bo'lgan va keyinchalik Janubiy Amerika, Markaziy Amerika va Karib havzasidagi boshqa mamlakatlarga tarqaldi. Braziliya Zika virusi va yangi tug'ilgan chaqaloqlarda mikrosefaliya holatlarining ko'payishi o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlashga rahbarlik qildi [12].
Global ahamiyatga ega bo'lgan yana bir virusli kasallik orttirilgan immunitet tanqisligi sindromi (OITS) bo'lib, uning epidemiyasi 1980-yillarda boshlangan bo'lib, OIV virusi keltirib chiqaradi va u immunitet tizimiga ta'sir qiladi. Vaktsina yo'q, ammo davolanishni antiretrovirus preparatlar bilan amalga oshirish mumkin, bu ham jinsiy aloqa orqali yuqtirish ehtimolini sezilarli darajada kamaytiradi [32]. Jahon sog'liqni saqlash tashkiloti [80] ma'lumotlariga ko'ra, Afrikada kattalarning 17 foizi virusga ega. Bu qit'a ham ebola virusidan eng ko'p zarar ko'rgan qit'a hisoblanadi. Ushbu kasallik ifloslangan go'sht (ko'rshapalaklar odatda asosiy mezbonlar) yoki infektsiyalangan odamlarning tana suyuqliklari orqali yuqishi mumkin. Og'ir alomatlar namoyon bo'lganligi sababli, infektsiyalangan odamni aniqlash va ajratish oson. Gripp va koronavirus kabi viruslar keltirib chiqaradigan kasalliklar bilan ham shunday bo'lmaydi [16]
Gripp virusining ba'zi shtammlari, masalan, 1918 yilda ispan grippi [75] uchun mas'ul bo'lib, butun dunyo bo'ylab millionlab odamlarning o'limiga olib keldi va 2009 yilda cho'chqa grippi. Koronavirusning turli shtammlari 2002 yilda SARS-CoV virusi epidemiyasi uchun javobgar bo'lgan. og'ir o'tkir respirator sindromning (SARS) tarqalishiga sabab bo'ldi [28, 50]. 2012 yilda MERS-CoV virusi Yaqin Sharq respirator sindromini (MERS) [39] keltirib chiqardi va nihoyat, 2019 yilda korona virusi kasalligi (COVID-19) [48] uchun masʼul boʻlgan yangi koronavirus SARS-CoV2 sabab boʻlgan pandemiya [48] JSST ma'lumotlariga ko'ra, 2020 yil avgustigacha butun dunyo bo'ylab 25 million kishi va 848 000 kishi halok bo'ldi [80].
Umuman olganda, bu kasalliklarning belgilari o'xshash va boshida unchalik og'ir emas. Odamlar odatda isitma, yo'tal va nafas olish qiyinlishuvi kabi klinik belgilarni ko'rsatadilar. Alomatlar namoyon bo'lishining kechikishi (yuqumli kasallikdan taxminan bir hafta o'tgach) aholining ko'pchiligiga ta'sir qiladigan engil alomatlar bilan birgalikda kasallikning tez tarqalishiga yordam beradigan asosiy tarkibiy qismlardir [49]. Ushbu tarkibiy qismlarga qo'shimcha ravishda, virusning bir odamdan boshqasiga o'tish usuli ham tarqalishini osonlashtiradi. Yuqtirish kontaminatsiyalangan odamlar yoki yuzalar bilan jismoniy aloqa orqali sodir bo'ladi, masalan, qo'l silkitish yoki ifloslangan yuzaga teginish va keyin ko'z, og'iz yoki burunga tegish. Kasallangan odamlardan hapşırma, yo'talish va tupurik tomchilari ham virusni yuqtiradi, shuning uchun niqoblardan foydalanish va ijtimoiy masofa bilan bog'liq choralar tibbiy nazoratni talab qiladi [80].
Shu nuqtai nazardan, matematik modellashtirish kasallikning tarqalishini tushunish, vaqt o'tishi bilan yuqtirgan odamlarning umumiy sonini aniqlash va natijada odamlarning harakatchanligi, atrof-muhit o'zgarishlarining ta'sirini o'rganish uchun qimmatli vositalarni taklif etadi, shuningdek, kasalliklarni ishlab chiqish va oldini olish va nazorat qilish choralari samaradorligini ta'minlaydi. global sog'liqni saqlashda qaror qabul qilish uchun dalillarni baholash [8, 30].
SIR modeli epidemiya jarayonini tekshirish uchun eng asosiy modellardan biridir. Ushbu stsenariyda har bir shaxs istalgan vaqtda uchta epidemiologik holatdan birida bo'lishi mumkin: sezgir, infektsiyalangan va yuqumli yoki olib tashlangan, bu immunizatsiya qilingan (tiklangan) yoki o'lgan degan ma'noni anglatadi [45]. Model, netx bo'limida batafsil tavsiflanganidek, shaxs o'z holatini o'zgartirish tezligini belgilaydi.
Dastlab, epidemiya modellari kontakt xatti-harakatlaridagi heterojenlikni, hatto kasallikning yuqish jarayonida ishtirok etadigan agentlarning harakatchanligini ham hisobga olmadi. Epidemiya tarqalishining eng oddiy nazariyasi, masalan, SIR modeli uchun aholini kasallikning bosqichiga ko'ra sezgir, yuqtirgan yoki olib tashlangan deb turli bo'limlarga bo'lish mumkinligini taxmin qiladi. Biroq, shaxslar bir xil va taxminan bir xil miqdordagi qo'shnilarga ega deb taxmin qilinadi. Ushbu elementar yondashuvdan biz infektsiyalangan shaxslar soni uchun vaqt evolyutsiyasi tenglamasini yozishimiz va nihoyat kasallikning tarqalishi haqida tegishli ma'lumotlarni olishimiz mumkin. Bu bir jinsli o'rtacha maydon nazariyasini tavsiflaydi [7] va bu algebraik rivojlanishning to'liq tahlili Sektda ko'rsatilgan. 4.
So'nggi bir necha o'n yilliklar davomida epidemiya modellarining murakkabligi oshishi, hisoblash tizimidagi yutuqlar va murakkab tarmoq vositalaridan foydalanish katta ma'lumotlar bilan birgalikda epidemiya epidemiyalarini bashorat qilish va nazorat strategiyalarini aniq va tobora real tarzda amalga oshirish imkonini beradi [8, 11]. , 40, 47].
Adabiyotda matematik modellashtirishning rivojlanishiga misol bo'la oladigan ko'plab asarlar mavjud [3, 44]. Masalan, bolalarda qizamiq epidemiyasini modellashtirish uchun modellar yosh guruhlari, fazoviy va vaqtinchalik xususiyatlar va metapopulyatsiya tuzilgan [24, 38, 82]. Metapopulyatsiya - bu kosmosda ajratilgan, lekin bir-biri bilan bog'langan populyatsiyalar to'plami bo'lib, ular orasida odamlarning harakatlanishiga imkon beradi [21].
Bezgak, dang isitmasi, Zika va leyshmanioz kabi vektor tomonidan yuqadigan yuqumli kasalliklar haqida gap ketganda, modellashtirish kamida ikkita xost turini o'z ichiga oladi va atrof-muhit sharoitlarini hisobga olish kerak. Bunday holda, ko'p qatlamli tarmoqlar [37] foydali ekanligini ko'rsatdi, chunki ular ikkita alohida qatlamdan iborat, masalan, biri inson populyatsiyasi va uning harakatchanligini, ikkinchisi esa vektor uchun bir xil narsani ifodalaydi - masalan, chivin. - bu kasallikni odamlarga yuqtirish. Kasallikning qatlamlar orasida tarqalishi, chunki bitta kasal odam hasharotni yuqtirishi mumkin, bu esa o'z navbatida sog'lom odamni chaqishi va uni yuqtirishi mumkin [37].
SARS, MERS va SARS-Cov2 kabi yangi paydo bo'lgan infektsiyalar kontaktlarni kuzatish, karantin, inson harakatchanlik modellari, aralashuv choralari, kechikish davri, birga keladigan kasalliklar, yosh guruhlari va vaktsinalarning ta'sirini hisobga oladigan modellarni talab qildi. Bundan tashqari, ijtimoiy aralashish shakllari, shahar demografiyasi va fazoviy dinamikani ham hisobga olish kerak, chunki ular yuqumli kasalliklarning tarqalishiga bevosita ta'sir qiladi. [46, 51, 53].
Yuqumli kasalliklarning tarqalishini amalga oshirish va tekshirish uchun biz bir qator yondashuvlardan foydalanishimiz mumkin: deterministik, stokastik, agentga asoslangan yoki ularning aralashmasi. Ushbu muqobil istiqbollar tadqiqotchilarga yuqumli kasalliklar haqida qo'shimcha tushunchalarga ega bo'lish va ularga qarshi kurashish strategiyalarini o'rganish imkonini beradi. Ularning aksariyati kompartment modellariga asoslanadi, ya'ni odamlarning populyatsiyalari turli bo'limlarga bo'lingan, bu erda har bir bo'linma kasallikning o'ziga xos bosqichini ifodalaydi [30]. Stokastik tizimda bir bo'linmaning boshqasiga o'tish ehtimoli uzluksiz vaqt Markov jarayoni bilan modellashtirilishi mumkin [1, 76]. Biroq, bu ehtimolliklarni deterministik yondashuvda differensial shakl bilan yaqinlashtirish mumkin. Bu holda oddiy differensial tenglamalar to'plami tizimning vaqt o'tishi bilan qanday rivojlanishini tavsiflaydi [69, 74]. Bundan tashqari, statistik yondashuvlar epidemiya dinamikasini modellashtirish uchun ham qo'llanilishi mumkin, bu asosan kasallikning fazoviy-vaqtinchalik xatti-harakati bilan bog'liq tashvishlarni o'z ichiga oladi [6, 41, 66]. Umuman olganda, ushbu modellarning barchasi real dunyoning harakatchanlik naqshlari, ijtimoiy aloqalar, yosh tabaqalanishi va aholining fazoviy taqsimoti kabi murakkabligini qamrab olishga harakat qiladi.
|
| |
