4 - масала.
Астроидани айланишидан ҳосил бўлган сиртни визуаллаш-
тиринг.
Дастур
:
Астроидани ясаш
a=2;
t
=-2*pi:pi/20:2*pi;
X=a*cos(t).^3;
174
Y=a*sin(t).^3;
w=300;
h=300; figure('Units','Pixels','position',
[100,100,w,h]);
plot(X,Y)
xlabel('x'); ylabel('y');
axis([-3, 3, -3, 3]);
Натижа:
9.2.4-расм. Астроида чизмаси.
% Айланиш сирти
a
=2;
t
=-2*pi:pi/20:2*pi;
X=a*cos(t).^3;
v=0:pi/20:2*pi;
[T,V]=meshgrid(t,v);
Y=a*sin(T).^3;
X1=X;
Y1=Y.*cos(V);
Z1=Y.*sin(V);
figure;
hFigure=gcf;
set(hFigure,'Color',[1 1 1]);
surf(X1,Y1,Z1)
hAxes=gca;
set(hAxes,'Color',[0.9,0.9,0.9]);
colorbar;
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
view([-24,40])
hold on
hPlot=plot(X,Y);
set(hPlot,'LineWidth',5)
set(hPlot,'Color',[1 0 1])
Натижа:
9.2.5-расм. АстроиданингОХ ўқи атрофида айланишидан ҳосил бўлган
сирт.
175
5-масала.
Қутб координатадларда Бернулли лимнискатасини ясанг:
Дастур:
a=1;
r=[]; phi=[];
for p=0:pi/60:2*pi
if 2*a^2*cos(2*p)>=0
r=[r sqrt(2*a^2*cos(2*p))];
phi=[phi p];
end
end
hFigure=gcf;
set(hFigure,'Color',[1 1 1]);
hP=polar(phi,r);
set(hP,'LineWidth',2);
Натижа:
9.2.6.-расм.Бернулли лимнискатаси.
6-масала
. MatLab да сонли ва символлик ҳисоблашлардан фойдаланиб: а
)
аниқ интегрални
; б)
икки каррали интегрални
; в)
1-тур сирт бўйича интегрални
ҳисобланг.
а)
Аниқ интегрални ҳисоблаш
ҳақидаги масала сонли таҳлилнинг мумтоз
масалаларидан ҳисобланади. Аниқ интегрални барча ҳисоблаш методлари ичида
энг содда, шу билан бирга муваффақиятли фойдаланилаётгани трапециялар
методидир. Ушбу метод учун MatLabда
trapz(x,y)
(
edit trapz
буйруғи ушбу
функциянинг матнини чиқариш имкониятини беради) фунция кўзда тутилган. Бир
ўлчовли
х
(вектор) массив интегралости функция аргументининг дискрет
қийматларини ўзига олади. Ушбу нуқталарда интеграости функция қийматлари
бир ўлчовли
y
массивда берилган. Кўпинча интеграллаш учун текис тўр
танлайдилар, яъни
х
массив элементлари бир-биридан бир хил қийматдаги –
интеграллаш қадамидаги оралиқда жойлашган. Интегрални ҳисоблаш аниқлиги
интеграллаш қадамига боғлиқ: бу қадам қанчалик кичик бўлса, аниқлик шунчалик
катта бўлади.
7 - масала
. Трапециялар методи ёрдамида турли қадамлар билан
интегрални ҳисобланг (кузатиш учун вергулдан кейин 14 ўнли
рақамни аввалдан киритинг ва format long буйруқни бажаринг).
Дастур:
function t=trap(dx)
176
x=0:dx:5;
y=sin(x).*exp(-x);
t=trapz(x,y); >> format long
>> trap(1)
Натижалар:
ans = 0.42255394026468
>> trap(0.1)
ans = 0.50144886299125
>> trap(0.01)
ans = 0.50226667654901
>> trap(0.001)
ans
= 0.50227485744814
Трапециялар методи жуда универсалдир ва у жуда силлиқ бўлмаган
функцияларни интеграллашга яхши келади. Интеграл белгиси остидаги функция
жуда силлиқ (бир неча биринчи ҳосилалари мавжуд ва узлуксиз) бўлса, у ҳолда
юқорироқ аниқликдаги интеграллаш методларидан фойдаланилган маъқул. Бир
хил қадамларда юқорироқ аниқликдаги интеграллаш методларида аниқроқ
натижаларга эришилади.
МатLав системасида интеграллаш методларининг юқорироқ даражадаги
аниқликдагилари
quad
(Симпсон методи) ва
quad8
(8-тартибдаги аниқликдаги
Ньютона-Котес методи) функцияси орқали жорий этилади. Буни устига
методларнинг ҳар иккаласи ҳам
адаптивдир,
яъни фойдаланувчига эришилган
натижа аниқлигини интеграллашнинг турли қадамларига мос келадиган кетма-кет
қийматларни таққослаб назорат қилишнинг хожати йўқ. Барча кўрсатилган
маълумотларни функциялар мустақил бажаради.
quad8
функцияда
quad
функцияга нисбатан аниқлик даражасиси
юқорироқ бўлгани, силлиқ функциялар учун яхшидир, чунки интеграллашнинг
катта сондаги қадамлари(камроқ ҳисоблаш ҳажми)да натижа аниқлигини
юқорироқ таъминланади. Лекин, quad функция жуда силлиқ бўлмаган
функциялар учун кам бўлмаган, хатто каттароқ тезкорликка эга бўлиши мумкин.
Ихтиёрий ҳолда ҳам иккала бу функциялар сўзсиз 0.001 га тенг бир хил нисбий
аниқликни таъминлайди.
МатLав системасининг бошқа функциялари каби,
quad
ва
quad8
ункциялари ҳам турли миқдордаги параметрларга эга бўлиши мумкин. Ушбу
функцияларни чақиришнинг минимал формати ўзига учта:
интегралости
функция номи, интеграллашнинг қуйи чегараси ва интеграллашнинг юқори
чегараси
каби параметрларни олади. Агар тўртинчи параметр қўлланилаётган
бўлса, у ҳолда у талаб этилган ҳисоб натижасининг аниқлигидан иборат бўлади.
Агар бу иики адаптив функциялар талаб этилган аниқликни (узоқлашувчи ёки
ушбу интегралга яқин бўлган) таъминлай олмаса, у ҳолда улар
Inf
символик
чексизликни қайтарадилар.
Аниқ интегралларни символлик методлар билан ҳисоблаш учун ҳал
этишнинг икки: тўғридан-тўғри ёки босқичлар бўйича (символлик сонларн ўрнига
қўйиш билан) вариантини фойдаланиш мумкин.
177
8 - масала
.
аниқ интеграл ҳисобланг.
Дастур:
a1=sym('0'); b1=sym('2');
syms w t a b
w=t^2;
% 1 усул: символлик сонларни ўрнига қўйиш билан ишлаш
symbol=int(w,'t',a,b)
symbol2a=subs(symbol,[a,b],[a1,b1])
digits(20);
number
=vpa(symbol2a)
% 2 усул: символлик сонлар билан ишлаш
symbol2b=int(w,'t',a1,b1) symbol =
1/3*b^3-1/3*a^3
symbol2a =
8/3
number =
2.6666666666666666667
symbol2b =
8/3
Натижа
: 8/3
9 - масала.
астроидани
Ox
ўқ атрофида айланишидан
ҳосил бўлган сиртнинг юзаси ҳисоблансин : . (юза 2-масалада визуллашган)
.
Дастур:
t1=sym('0'); t2=sym('pi/2'); a=sym('1');
syms x y t f
x=a*cos(t)^3; y=a*sin(t)^3;
f=y.*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2);
symbol=simplify(int(4*pi*f,'t',t1,t2))
digits(10);
number=vpa(symbol) symbol =
12/5*pi
number =
7.539822370
Натижа:
7.539822370
б)
|
