deyiladi, agar hech bo‘lmagan ikkita turli yechimlarga ega bo‘lsa aniqlanmagan
deyiladi.
Chiziqli algebraning sonli usullariga chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish,
matrisaning teskarisini topish, determinantlar hisoblash kabi sonli usullar kiradi.
Bizga ushbu n-tartibli n ta chiziqli algebraik tenglamalarning sistemasi berilgan bo‘lsin:
{
(2)
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
(3)
Matrisa va vektorni bir-biriga ko‘paytirish xossasidan foydalanib, (3) belgilashlarni
hisobga olgan holda (2) sistemani matrisa ko‘rinishda yozamiz:
(4)
Umuman olganda
A
kvadrat matrisa turli xil ko‘rinishlarda bo‘lishi mumkin:
1) agar matrisadagi faqat
hadlar noldan farqli bo‘lib, boshqa hadlarning
hammasi nolga teng bo‘lsa,
A
matrisa diagonal matrisa
deyiladi;
2) agar
shart bajarilsa,
A
matrisa simmetrik matrisa
deyiladi;
3) agar matrisaning diagonali va undan yuqorida turgan hadlar noldan farqli, qolgan
hadlar esa nolga teng bo‘lsa, bu matrisani yuqori uchburchak matrisa
deyiladi. Xuddi
shunday ta`rifni pastki uchburchak matrisaga nisbatan ham berish mumkin;
4) agar matrisaning asosiy chap diagonal va unga parallel bo‘lgan ikkita qo‘shni
diognallardagi elemenilargina noldan farqli, boshqa elementlar esa nolga teng bo‘lsa,
matrisani uch diagonalli matrisa
deb ataladi.
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish deb (2) yoki (4) sistemalardan
noma`lumlarni topishga aytiladi.
Topilgan
qiymatlar (2) yoki (4) sistemalarga qo‘yilganda tenglamalarni
ayniyatga aylantirsa, ular sistemaning yechimi deyiladi.
Sistema yagona yechimi mavjudligining zaruriy va yetarli sharti
A
kvadrat matrisa
determinantining noldan farqli bo‘lishidir, ya`ni
(5)
Agar D=0 bo‘lsa, sistemalar maxsus sistemalar deyiladi va ularning yechimi yoki mavjud
emas, yoki cheksiz ko‘p bo‘ladi. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish usullari
ikkita guruhga bo‘linadi: to‘g‘ri (aniq) va iteratsion (taqribiy) usullar. To‘g‘ri usullar
yordamida sistemaning yechimiga chekli sondagi aniq arifmetik amallarni bajarish orqali
erishiladi. Bu usullar keng sinfdagi sistemalarni yechish imkoniyatiga ega. Lekin, shu bilan
birga, ular ayrim kamchiliklardan ham holi emas. Masalan, ular kompyuterda ishlatilganda
hotira qurilmasida sistema koeffisientlari va ozod hadlarning barchasi saqlanishi kerak.
Bundan tashqari, usullar asosida yotuvchi algoritmlar aniq bo‘lishiga qaramasdan yechim
665
ma`lum darajada taqribiy topiladi. Chunki, yaxlitlash xatoliklari ketma-ket bajariluvchi
hisoblash bosqichlarida doimo jamlanib boradi. Ayniqsa, yuqori tartibli va yomon
shartlangan sistemalar uchun bu butunlay yaroqsiz yechim olinishiga sabab bo‘lishi
mumkin. Shuning uchun, to‘g‘ri usullar yaxshi shartlangan, past tartibli, hadlari siyrak
bo‘lmagan matrisali sistemalarni yechishda ishlatiladi.
Iteratsion usullar - bu ketma-ket yaqinlashish usullaridir. Bu usullar to‘g‘ri usullarga
nisbatan murakkabroq. Lekin, ko‘p hollarda iteratsion usullarni ishlatish ma`qulroqdir.
Chunki, bu usullarni ishlatganda kompyuterning xotira qurilmasida sistema matrisasining
barcha hadlarini saqlab turishga hojat yo‘q. Undan tashqari, xatoliklar ham iteratsion
usullarda jamlanib bormaydi. Har bir iteratsiya qadamida hisob-kitob go‘yo yangidan
boshlangandek davom etib ketadi. Lekin, iteratsion usullarni hamma vaqt ham
ishlataverish mumkin emas. Buning uchun, ma`lum shartlar bajarilishi kerak. Aks holda,
iteratsiya jarayoni uzoqlashuvchi bo‘lib, uning yordamida yetarli aniqlikdagi yechimni olish
imkoniyati bo‘lmaydi. Bu shartlar haqida batafsil ma`lumotlar iteratsion usullar berilgan
paragrafda keltirilgan. To‘g‘ri usullarga Kramer, Gauss, bosh elementlar, kvadrat ildizlar va
shu kabi usullar kiradi. Iteratsion usullarga esa oddiy iteratsiya, Zeydel, relaksasiya va shu
kabi usullar kiradi.
Gauss usuli bizga oddiy matematika kursidan ma`lum bo‘lgan sistema noma`lumlarini
ketma-ket yo‘qotish usulining umumiy sxemasidan iboratdir. Bizga (2) ko‘rinishidagi kabi
ifodalangan
n
-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Gauss usuli ikki bosqichdan iborat: ketma-ket yo‘qotish - to‘g‘ri yurish va teskari yurish.
Usulning to‘g‘ri yurish bosqichida (2) ko‘rinishdagi «to‘rtburchak» sistema «yuqori
uchburchak» holiga keltiriladi. Teskari yurish bosqichida esa, hosil qilingan «uchburchak»
sistema eng oxirgi tenglamasidan boshlab yuqoriga qarab ketma-ket yechib boriladi va
sistemaning sonli yechimlari hosil qilinadi.
To‘g‘ri yurish bosqichi. Faraz qilaylik, (2) sistemadagi birinchi tenglamaning yetakchi
elementi
bo‘lsin, aks holda sistemadagi tenglamalarning o‘rinlarini almashtirib,
noma`lum oldidagi koeffisienti noldan farqli bo‘lgan tenglamani birinchi o‘ringa
ko‘chiramiz. Sistemadagi birinchi tenglamaning barcha koeffisientlarini
ga bo‘lib,
(6)
ni hosil qilamiz. Bu yerda
,
. (6) tenglamadan foydalanib (2)
sistemaning qolgan tenglamalaridan
yo‘qotish mumkin. Buning uchun, (6) tenglamani
ketma-ket
larga ko‘paytirib, mos ravishda (2) sistemaning ikkinchi,
uchinchi va x.k tenglamalaridan ayiramiz va yana shu tenglamalar sifatida yozib olamiz.
Natijada, quyidagi sistema xosil bo‘ladi:
{
(7)
bu yerda
koeffisientlar va
ozod hadlar quyidagicha aniqlangan:
Yuqoridagi kabi amallarni (7) sistemaning qolgan tenglamalari uchun ham qo‘llaymiz va
bu jarayonni ketma-ket davom ettirib, berilgan (2) sistemaga teng kuchli quyidagi
«uchburchak» sistemani hosil qilamiz:
666
{
(8)
Hosil qilingan bu uchburchak sistemaning koeffisientlari va ozod hadlari quyidagi
formulalar bilan hisoblanadi:
(9)
bu yerda
.
Teskari yurish bosqichi. Endi (8) uchburchak sistemaning oxirgi tenglamasidan boshlab
yuqoriga qarab yurib sistema noma`lumlari
larni ketma-ket topish mumkin:
{
⁄
(
)
(10)
(10) ko‘rinishdagi sistema yechimlarini aniqlash formulalarini quyidagi ixcham
ko‘rinishda yozish mumkin:
(
∑
+
Shunday qilib, ixtiyoriy
-tartibli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini ko‘rsatib
o‘tilgan algoritm bo‘yicha yechish mumkin. Faqat yetakchi hadlar
ni noldan farqliligiga
yoki uni moduli bo‘yicha eng kattaligiga erishish kerak. Buning uchun, Gauss usulini bosh
hadni tanlash yo‘li bilan qo‘llaniladi, ya`ni noma`lum yo‘qotiladigan ustundan moduli
bo‘yicha eng katta koeffisientli tenglama ishchi tenglama sifatida tanlab olinadi.
Iteratsiya, ya`ni ketma-ket yaqinlashish usuli yuqori tartibli sistemalarni yechishda qo‘l
keladi. Bundan tashqari, bu usul aniq usullardan farqli o‘laroq xatoliklarning jamlanmasligi
kabi xususiyatga egaki, bu yuqori tartibli sistemalarni yechishda hal qiluvchi omillardan
biri bo‘lishi mumkin.
Bizga oldingi mavzuda o‘rganilgan (1) ko‘rinishidagi sistema berilgan bo‘lsin.
{
(1)
Koeffisientlar matrisasi
A
da barcha diagonal hadlarni 0 dan farqli deb qaraymiz. (1)
sistemaning birinchi tenglamasini
ga nisbatan, ikkinchi tenglamasini
ga nisbatan va
hokazo
n
-tenglamasini
ga nisbatan yechib quyidagi (1) tenglamalar sistemasiga teng
kuchli sistemani hosil qilamiz:
{
(2)
Bunda agar
bo‘lsa,
kabi ifodalanadi, agar
bo‘lsa,
.
Quyidagi belgilashlar kiritib olamiz:
667
(
)
,
(
,
,
(
,
(2) sistemani matrisa-vektorli ko‘rinishida yozib olishimiz mumkin:
(3)
(3) sistemani ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechamiz. Nolinchi yaqinlashish sifatida
ixtiyoriy
|
