Sh. A. Saipnazarov biznes matematika

168 
y
n
y
y
x
n
x
x
l
l
np
l
l
np




,
bu yerda

y
x
l
l
,
x
va
y
yoshgacha yashaydigan shaxslar soni (bu sonlar erkak 
va ayollar uchun tuzilgan o„limlik jadvalidan olinadi). 
Quyidagi ikkita ishchi gipotezani kiritib yana ikkita ehtimolni hisoblaymiz: 
- er-xotinlarning ikkalasi ham
x
va
y
yoshga bir kunda to„ladi; 
- ulardan bittasining o„limi – boshqasining o„limiga bog„liq bo„lmagan 
sug„urtaviy hodisa. 
Er-xotinlarning birga yana 
n
yil yashash ehtimoli (er-xotin juftligini 
“saqlanish” ehtimoli) ikkita erkli hodisa ehtimollarining ko„paytmasi kabi 
hisoblanadi: 
y
x
n
y
n
x
y
n
y
x
n
x
y
n
x
n
xy
n
l
l
l
l
l
l
l
l
P
P
P











(15.2.5) 
Ushbu formuladagi ko„paytmalarni quyidagicha belgilashadi: 
n
xy
n
y
n
x
xy
y
x
l
l
l
l
l
l







,
Bularni e‟tiborga olib, (15.2.5) formulani 
xy
n
xy
xy
n
l
l
P


(15.2.6) 
ko„rinishda yozishimiz mumkin.
Endi er (er 
x
yoshda bo„lganda sug„urta qilingan, bu paytda xotini 
y
yoshda 
bo„lgan) 
n
x

yoshgacha yashamaydigan, xotin esa 
n
y

yoshgacha yashaydigan 
holdagi ehtimolni hisoblaymiz. 
Izlangan ehtimol (uni 
y
x
n
P
deb belgilaymiz) ushbu ehtimollar 
ko„paytmasiga teng. 
xy
n
xy
y
n
y
y
n
x
n
y
n
x
n
x
n
y
n
x
n
y
x
n
l
l
l
l
P
P
P
P
P
P
q
P












)
1
(
(15.2.7) 
Misol. Er va xotin yoshlari mos ravishda 50 va 45 bo„lsin. O„limlik 
jadvalidan (SSSR aholisining o„limlik jadvali olindi) erkaklar uchun
,
77007
,
83640
55
50


l
l
ayollar uchun
.
94348
,
96261
50
45


l
l
Er va xotinni 
yana 5 yil birga yashash ehtimoli 
.
9024
,
0
98013
,
0
92070
,
0
96261
94348
83640
77007
45
5
50
5
45
;
50
5







P
P
P
Erni 5 yil yashamaslik, xotinini esa yana 5 yil yashash ehtimoli (15.2.7)
formuladan
.
007772
,
0
98013
,
0
)
92070
,
0
1
(
)
1
(
45
5
50
5
45
50
5







P
P
P

169 
15.3. Kommutasion funksiya. Sug’urtaviy rentaning narxi 
 
Sug„urtaviy annuitetlarni qisqa yozish va hisoblashlarni soddalashtirishda 
kommutatsion funksiyalar yoki kommutatsion sonlar qo„llaniladi. Kommutatsion 
sonlar yoki funksiyalarni yordamchi miqdor sifatida tushunamiz. 
Standart kommutatsion funksiyalar ikki guruhga bo„linadi. Birinchisiga
ma‟lum yoshgacha yashaydiganlar soni, ikkinchisiga o„lganlar soni kiradi. 
Birinchi guruhning asosiy funksiyalari
x
D
va
x
N
x
x
x
l
D



(15.3.1) 




x
j
j
x
D
N
(15.3.2) 
bu yerda 
i


murakkab stavka bo„yicha diskont ko„paytuvchisi, 


o„limlik 
jadvalida hisobga olingan chegaraviy yosh. Ta‟rifga ko„ra
.
,
1


D
N
D
N
N
x
x
x




Ba‟zi aktuar hisoblarda 
x
D
kommutatsion sonlar yig„indisini berilgan yosh 
intervallari bo„yicha hisoblash zarur bo„ladi. Bunday holda 
x
N
kommutatsion 
sonlardan foydalanish mumkin: 
.
1
1
1








k
x
x
k
t
t
x
N
N
D
Amaliyotda 
x
N
ning yana ikkita varianti qo„llaniladi, unga to„lovlar yiliga 
m
marta to„langanda murojaat qilinadi. Postnumerando to„lovlar uchun quyidagi 
ifodani qo„llaymiz: 
x
x
m
x
D
m
m
N
N
2
1
)
(



, 
Prenumerando to„lovi uchun 
x
x
m
x
D
m
m
N
N
2
1
)
(





(15.3.4) 
Ikkinchi guruh kommutatsion funksiyalar 
x
C
va
x
M
hisoblanadi. 
1


x
x
x
d
C

(15.3.5) 




x
j
j
x
C
M
(15.3.6) 
Ikkala guruh kommutatsion sonlari orasida o„zaro bog„lanish mavjud: 
.
)
(
1
1
1
1
1
1













x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
D
D
l
l
l
l
d
C






Shunga o„xshash
1
1
1
1
1
)
(























x
x
x
j
j
x
j
j
x
j
j
j
j
j
x
j
j
x
j
j
x
N
N
D
D
l
l
d
C
M










170 
ekanligini isbotlashimiz mumkin.
Sug„urtaviy tashkilotlar kommutatsion funksiyalar jadvalining daromad 
normasini hisobga olgan holda ishlab chiqadilar. 
Kommutatsion funksiyalar jadvalidan namuna (bu jadval 
%
9

i
da SSSR 
aholisining o„limlik jadvali asosida hisoblangan). 
x
x
l
x
D
x
N
)
12
(
x
N
x
C
x
M
18 
100000 
21199 
244593 
254309 
28,98 
1003,6 
19 
99851 
19420 
223393 
232294 
30,82 
974,7 
20 
99678 
17786 
203973 
212125 
31,98 
943,8 
30 
96991 
7310 
80677 
84027 
25,55 
648,9 
35 
94951 
4651 
49910 
52042 
20,78 
530,3 
40 
92327 
2940 
30376 
31723 
19,09 
431,4 
50 
83640 
1125 
10465 
10981 
14,54 
260,7 
60 
68505 
389 
3082 
3261 
10,25 
134,7 
70 
45654 
110 
684 
734 
5,72 
53,1 
80 
19760 
20 
85 
95 
2,14 
13,0 
Er-xotin juftligini sug„urta qilishda ushbu kommutatsion funksiyaning zarurligi 
kelib chiqadi: 
2
/
)
(
y
x
xy
xy
l
D




(15.3.7) 
xy
l
ning qiymati (15.2.6) formula bo„yicha 
xy
n
P
ni hisoblash orqali topilgan. 
(15.3.7) funksiyani 
y
x
D
D
,
kommutatsion 
funksiyalar 
asosida 
quyidagicha topiladi: 
2
2
/
)
(
)
1
(
y
x
y
x
y
x
y
x
xy
i
D
D
D
D
D











(15.3.8) 
O„z navbatida 
2
y
x
n
n
xy
n
xy
l
D







, 
2
/
)
(
]
2
/
)
(
[
)
1
(
y
x
n
n
y
n
x
y
x
n
n
y
n
x
n
xy
i
D
D
D
D
D

















Kommutatsion sonlar ko„paytmasi katta o„lchovga ega bo„lganligi uchun 
ularni 
3
10

ga ko„paytiriladi. 
Misol. Er-xotin juftligi uchun 
45
;
50
D
va 
50
;
55
D
kommutatsion sonlarni 
aniqlang. 
Avval, 
5
,
47
2
45
50
2




y
x
ni aniqlaymiz.
Foiz stavkasi 
%
9

i
bo„lgan holdagi kommutatsion sonlar quyidagi 
qiymatlarga ega (birinchi qator – erkaklar uchun, ikkinchi qator – ayollar uchun) 
1
,
673
,
8
,
1124
55
50


D
D
.
8
,
1268
,
9
,
1991
50
45


D
D

171 
Bulardan 
,
134308
09
,
1
9
,
1991
8
,
1124
10
5
,
47
3
45
;
50






D
.
78770
09
,
1
8
,
1268
1
,
673
10
5
,
47
5
3
50
;
55







D
x
N
funksiyani topish qoidasiga asosan
xy
N
ni topamiz: 






y
t
t
y
t
x
xy
D
N

0
;
(15.3.9) 

Download 3,82 Mb.