Nazorat savollari:
Differensial tenglamaga ta’rif bering.
Differensial tenglamaga tartibi qanday aniqlanadi?
Differensial tenglama uchun boshlang’ich shartlar qanday beriladi?
Koshi masalasi qanday masala?
Differensial tenglamalar va ularning sistemasini yechishda Eyler usuli va uning algoritmi?
Differensial tenglamalar va ularning sistemasini yechishda Runge-Kutta usuli va uning algoritmi?
MA’RUZA №5
Matematik model inтerpolyasiyasi va approksimatsiyasi
Mavzu: Aniq integral qiymatini taqribiy hisoblash usullari.
Masalaning qo’yilishi: [a,b] oraliqda aniqlangan uzluksiz f(x) funksiya berilgan bo’lib bizdan quyidagi
(1)
integralni hisoblash talab qilingan bo’lsin. Ba’zi hollarda f(x) funksiyaning berilishiga qarab bu integralni aniq hisoblashimiz mumkin. Amaliy ishlarda f(x) funksiya shunday ko’rinishga ega bo’ladiki, (1) integralni aniq hisoblab bo’lmaydi. Bunday hollarda (1) integralni berilgan aniqlikda taqribiy hisoblashga to’g’ri keladi.
Quyida aniq integralni hisoblash uchun bir necha taqribiy usullar, ularning algoritmi va unga mos Paskal algoritmik tilida tuzilgan programmalari keltirilgan.
To’g’ri to’rtburchaklar usuli. x0=a, xn=b, n – natural son bo’lsin. Ushbu formulalar yordamida (1) integralni taqribiy hisoblash mumkin:
bu yerda xi=xi-1+h, yi=f(xi), i=1,2,…,n.
To’g’ri to’rtburchak usuli uchun xatolik quyidagicha aniqlanadi:
|I-S|
Aniq integralni to’g’ri to’rtburchak usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program turt_bur; uses crt;
var a,b,int:real; n:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyaning ko’rinishi }
end;
procedure turtburchak(a1,b1:real;n1:integer; var int1:real);
var i:integer; h1,c:real;
begin
h1:=(b1-a1)/n1;
c:=0; int1:=0; c:=a1-h1/2;
for i:=1 to n1 do
begin
c:=c+h1; int1:=int1+f(c)
end;
int1:=int1*h1;
end;
begin
read(a,b,n);
turtburchak(a,b,n,int);
writeln('Integr "=',int:10:4);
end.
Trapesiya usuli. [a;b] oraliq xi=a+ih nuqtalar bilan (bu yerda i=1,2,…,n; x0=a, xn=b, n-natural son) n+1 ta oraliqqa ajratiladi va har bir oraliqda egri chiziqli trapesiya yuzi taqribiy ravishda to’g’ri chiziqli trapesiya yuziga almashtirilib, quyidagi taqribiy formulani hosil qilamiz
bu yerda I-(1) integralning aniq qiymati, S-(1) integralning taqribiy qiymati, yi=f(xi)
Xatolikni baholash: , M=max|f’’(z)| , z[a,b]
Aniq integralni trapesiya usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program trap; uses crt;
var n1:integer; a,b,i1:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyaning ko’rinishi }
end;
procedure trap1(a1,b1:real;N:integer; var int:real);
var i:integer; h,s:real;
begin
h:=(b1-a1)/n;
s:=(f(a1)+f(b1))/2;
for i:=1 to n-1 do s:=s+f(a1+i*h);
int:=s*h;
end;
begin
clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('N='); read(n1);
trap1(a,b,n1,i1);
writeln('i=',i1:10:4);
end.
Simpson usuli. x0=a, x2n=b , yi=f(xi), i=1,2,…,n. n- natural son bo’lsin. Ushbu yig’indi yordamida (1) integralni taqribiy hisoblash mumkin:
Xatoliklar:
, M=max|fIV(z)|, z[a,b].
Misol. integral qiymatini [1;2] oraliqda n=4 da, trapesiya formulasi bilan hisoblang:
x0=1, x1= x2= x3= x4=2;
;
.
Aniq integralni Simpson usulida hisoblash uchun Paskal tilida tuzilgan dasturning ko’rinishi:
program simpson; uses crt;
var a,b,int1:real; n:integer;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) funksiyaning ko’rinishi }
end;
procedure simps(a,b:real;n:integer;var int:real);
var h,s,s1,s2:real; i:integer;
begin
h:=(b-a)/(2*n);
s1:=0; s2:=0;
s:=f(a)+f(b);
for i:=1 to n do s1:=s1+f(a+(2*i-1)*h);
for i:=1 to n-1 do s2:=s2+f(a+2*i*h);
int:=h*(s+4*s1+2*s2)/3;
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('n='); read(n);
simps(a,b,n,int1);
writeln('integral=',int1:10:4);
end.
Nazorat savollari:
Aniq integralning geometrik ma’nosini ayting.
Taqribiy integrallash deganda nimani tushunasiz?
Taqribiy integrallashda to’g’ri to’rtburchak usuli va uning algoritmi.
Taqribiy integrallashda trapesiya usuli va uning algoritmi.
Taqribiy integrallashda Simpson usuli va uning algoritmi.
|
