|
Differensial tenglamalarning maxsus yechimlari
|
| bet | 4/5 | | Sana | 21.05.2024 | | Hajmi | 405,76 Kb. | | #248039 |
Bog'liq 2-mustaqil ish difrensialDifferensial tenglamalarning maxsus yechimlari.
Tarif. Differensial tenglamada uning umumiy yechimidan ixtiyoriy o‘zgarmasning xech bir qiymatida hosil qilinishi mumkin b o ‘lmagan yechimi maxsus yechim deyiladi.
Maxsus yechimning grafigi umumiy yechimga kirgan integral egri chiziqlarning o ‘ramasi deb ataluvchi chiziqdan iboratdir. Bu chiziq o‘zining har bir nuqtasida oilaning u yoki bu integral egri chizig‘iga urinadi shu bilan birga o‘ramaning turli nuqtalarida oilaning turli integral egri chiziqlari urinadi. Demak, o‘ramaning (maxsus yechimning) har bir nuqtasi orqali eng kamida 2 tadan integral egri chizig‘i o‘tadi, ya'ni uning har bir nuqtasida yechimning yagonaligi buziladi. Bunday nuqtalarni biz maxsus nuqtalar deb atadik. Shunday qilib, maxsus yechim maxsus nuqtalardan iboratdir.
tenglama har doim y hosilaga nisbatan yechilavermaydi va y hosilaga nisbatan yechilgan ko’rinishdagi tenglama(lar) ham ko’p hollarda oson integrallanmaydi. Bunday hollarda hosilaga nisbatan yechilmagan tenglama, odatda, parametr kiritish usuli bilan yechiladi. Shu usulni bayon qilamiz.
Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamani y ga nisbatan yechish, ya’ni ko’rinishda yozish mumkin bo’lsin. U holda
parametr kiritib,
ifodani hosil qilamiz. (2) tenglikning ikkala tomonidan to’la differensial olamiz:
So’ngra, (1) ga ko’ra, dy = p dx ekanligini e’tiborga olib,
ya’ni
ko’rinishdagi differensiallarda yozilgan tenglamani hosil qilamiz, bu yerda ma’lum funksiyalar.
Agar bu tenglamaning yechimi ko’rinishda topilsa, u holda (2) tenglikdan foydalanib, dastlabki tenglamaning yechimi parametrik ko’rinishda yoziladi:
ko’rinishdagi tenglama ham xuddi shu kabi yechiladi.
Endi tenglama uchun boshlang’ich shartli Koshi masalasini o’rganamiz. Agar Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, ya’ni nuqta orqali nuqta orqali tenglamaning faqat bitta yechimi o’tsa, bunday nuqta oddiy nuqta deyiladi. Oddiy nuqtaga mos kelgan yechim oddiy yechim, integral egri chiziq esa oddiy integral egri chiziq deyiladi.
Agar biror nuqtada Koshi masalasi uchun yechimning yagonaligi o’rinli bo’lmasa, ya’ni shu nuqtadan bir xil urinmali bittadan ortiq integral egri chiziqlar o’tsa, bunday nuqta tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi. Maxsus nuqtalarning majmuasi maxsus to’plam, maxsus yechimga mos kelgan integral egri chiziq esa maxsus integral egri chiziq deyiladi.
Agar funksiya x bo’yicha uzluksiz hamda y va y bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsa, u holda
tenglamaning y = (x,y) maxsus yechimi (agar maxsus yechim bor bo’lsa) ushbu
tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. Shunga ko’ra, (3) tenglamaning maxsus yechimlarini topish uchun (4) tenglamalar sistemasidan y hosilani yo’qotib, biror tenglamani hosil qilish kerak. tenglama diskriminant egri chiziq tenglamasi deyiladi. Diskriminant egri chiziqlar (1) tenglamaning yechimi bo’lishi ham, qisman yechimi bo’lishi ham yoki umuman yechimi bo’lmasligi ham mumkin. Shuning uchun diskriminant egri chiziqning har bir tarmog’i (agar u bir necha tarmoq(bo’lak)lardan iborat bo’lsa) berilgan tenglamaning yechimi bo’lishi yoki bo’lmasligini, agar yechim bo’lsa, uning maxsus yechim bo’lishi yoki bo’lmasligini, ya’ni uning har bir nuqtasiga boshqa yechimlar urinishi yoki urinmasligini alohida tekshirib ko’rish kerak.
Aytaylik, tenglamaning umumiy yechimi, esa diskriminant egri chiziqlarning (3) tenglamaning yechimi bo’ladigan tarmog’i bo’lsin, ya’ni funksiya (4) sistemani qanoatlantirsin. Agar funksiya (3) tenglamaning maxsus yechimi bo’lsa, u holda bu funksiya quyidagi sistemani tenglamaning aniqlanish sohasiga tegishli bo’lgan ixtiyoriy 0 x nuqtada qanoatlantiradi:
Ushbu bir parametrli silliq chiziqlar oilasi berilgan bo’lsin, bu yerda C - har xil qiymatlarni qabul qiladigan parametr. Agar biror chiziq o’zining har bir nuqtasida shu oila chiziqlaridan birortasi bilan umumiy urinmaga ega bo’lsa, u holda chiziq chiziqlar oilasining o’ramasi deyiladi.
Maxsus yechimlarni (3) tenglamaning integral egri chiziqlari oilasining o’ramasi yordamida ham topish mumkin. O’rama diskriminant egri chiziq tarkibiga kiradi. Diskriminant egri chiziq esa
tenglamalar sistemasidan aniqlanadi.
|
| |
