Векторларнинг чизикли комбинацияси ва богликлиги хакида тушунчалар.
Векторларнинг хакикий сонларга купайтмасининг йигиндисига векторларнинг чизикли комбинацияси дейилади.
Агар х1,х2,...,хn векторлар ва 1,2,...,n хакикий сонлар берилган булса, буларнинг чизикли комбинациясини тузиш мумкин.
1,х1+2 х2+...+nxn
Маълумки векторлар сонга купайтмаси векторни беради, векторларнинг алгебраик йигиндиси хам вектордир, Шунинг учун хам векторларнинг чизикли комбинацияси кандир янги векторни беради, яъни
Y=1x1+2x2+...+nxn
Бу ифодани y-вектор, х - векторлар билан - коэффициентлар оркали чизикли ифодаланади дейиш хам мумкин.
Векторлар системаси чизикли богланган дейилади, качанки бирор коэффициент нолдан фаркли хол учун бу векторлардан нолли чизикли комбинация тузиш мумкин булса, демак бирорта 0 хол учун:
1х1+2х2+...+nxn=0
булса, бундай система чизикли богланган дейилади. бундан тескари хулоса шуки,
агар 12,...n сонлар мавжуд булиб
1x1+2x2+...+nxn=0
тенглик факат 1=0, 2=0, n=0 ,булгандагина уринли булса, х1,х2,...,хn векторлар системаси узаро чизикли боглик мос дейилади.
Агар векторлар системаси чизикли богланган булса у холда булардан биттаси оркали колганларининг чизикли комбинациясини тузиш мумкин.
Агар бирон вектор колган векторлар оркали чизикли ифодаласа, бундай векторлар системаси чизикли богланган булади. Системани чизикли богланганлигини еки чизикли богланмаганлигини аниклаш учун куйдаги иккита вазиятдан фойдаланамиз.
1. Векторларнинг чизикли комбинациясининг координаталари мос координаталарнинг чизикли комбинацияларидан иборат.
2. Нол векторнинг хамма координаталри нолга тенгдир.
Мисол: куйдаги векторлар берилган булсин:
X (2;3), Y (3;4), Z (5;7)
Бу векторларнинг чизикли богланганлигини текширамиз. Векторларнинг чизикли комбинациясини тузамиз:
1х+2y+3z=0 (1)
Биринчи координаталар буйича чизикли комбинациясини тузамиз:
12+23+35=0
Иккинчи координаталар буйича чизикли комбинациясини тузамиз:
13+24+37=0
Натижада уч номаълум иккита тенглама хосил булади,
21+32+53=0
(2)
31+42+73=0
Тенгламаларни 3- га булиб езамиз ва 13=1 23 деб белгилаб олсак,
21+32+5=0
(3)
31+42+7=0
1=-1, 2= -1
3 та номаълумли 2 та тенгламалар системаси булганлиги сабабли номаъ-лумлардан бирига ихтиерий киймат бериб ечиш мумкин, яъни 3=1 десак
13= -1; 1= -1; 23= -1; х2= -1 булади.
У холда (1) тенглама -х-у+z=0 куринишда булади.
Бундан х=z-у демак, вектор системаси чизикли богланган.
Энди n- улчовли вектор фазонинг бирлик векторлари системаси чизикли боглик эмаслигини курсатамиз. Бунинг учун куйдаги n-улчамли бирлик векторларни оламиз
И1 (1,0,0,...,0)
И2 (0,1,0,...,0)
Иn (0,0,0,...,1)
Хар бир координаталар учун чизикли комбинациялар тузиб, уларни нолга тенглаштирамиз:
11+20+...+n0=0
10+21+...+n0=0
10+20+...+n1=0
Бунда 1=0, 2=0, ...,n=0 эканлиги келиб чикади, демак
1И1+2И2+...+nИn чизикли комбинацияси нолга тенг булиши мумкин, качонки хамма - лар, яъни коэффициентлари “0” га тенг булса. Шундай килиб n-улчамли бирлик система хар доим чизикли богланмаган.
|
