Masala.
2-rasmdagi noma’lum
burchaklarni toping.
Yechilishi.
Bir tomonli burchaklar
yig‘indisi 78°+102°=180° bo‘lgani uchun
a||b
bo‘ladi. Demak, 1-teoremaga ko‘ra,
z
=
48° va
x = y
bo‘ladi.
x + x
+
48° = 180°
bo‘lgani uchun (yoyiq burchaklar kattaligi)
x
=
66°. Demak,
y
= 66°.
Javob:
x
= 66°;
y
= 66°;
z
= 48°.
Masala.
3-rasmda
a b, c||d
. Quyidagi tengliklardan qaysilari to‘g‘ri?
1)
∠
1 =
∠
15; 2)
∠
3 =
∠
13; 3)
∠
4=
∠
16; 4)
∠
4 =
∠
8; 5)
∠
1=
∠
12; 6)
∠
7 =
∠
10;
a
||
b
,
c
– kesuvchi
(1-rasm)
∠
1=
∠
2
102°
78°
48°
z
x
y
a
b
x
2
1
a
b
c
2
1
C
A
B
111
3
1 2
3
4
5 6
7
8
15 16
13
14
9 12
11
10
a
b
c
d
7)
∠
8=
∠
16; 8)
∠
8=
∠
11; 9)
∠
4+
∠
13=180°; 10)
∠
6 +
∠
14 = 180°;
11)
∠
7+
∠
12=180°; 12)
∠
8+
∠
9=180°.
Yechilishi:
3)
∠
4=
∠
2
(vertikal burchaklar xos
-
sasiga ko‘ra)
,
∠
2 va
∠
16 mos burchaklar bo‘lgani
uchun
∠
2=
∠
16. Demak,
∠
4=
∠
16 tenglik to‘g‘ri.
5)
∠
12=
∠
7
(mos burchaklar xossasiga ko‘ra)
va
∠
7=
∠
5
(vertikal burchaklar)
.
∠
5 va
∠
1 mos bur-
chaklar.
a b
, shuning uchun
∠
1
≠∠
5=
∠
7=
∠
12, ya’ni
∠
1=
∠
12 tenglik noto‘g‘ri.
9)
∠
4=
∠
2,
∠
13=
∠
15
(vertikal burchaklar)
,
c||d,
∠
2 va
∠
15 bir tomonli burchaklar
bo‘lgani uchun
∠
2+
∠
15=180°. Demak,
∠
4+
∠
13 =180° tenglik to‘g‘ri.
11)
c||d
bo‘lgani uchun
∠
7=
∠
10
(almashinuvchi burchaklar xossasiga ko‘ra)
va
∠
10=
∠
12
(vertikal burchaklar)
. Demak,
∠
7=
∠
12.
Shuning uchun
∠
7+
∠
12 = 180° tenglik faqat
∠
7=
∠
12= 90° bo‘lganda o‘rinli bo‘ladi.
Qolgan tengliklarni shu tariqa o‘zingiz mustaqil ravishda tekshirib chiqing.
?
?
?
?
Mavzuga doir savollar
1. Teskari teorema nima? Uning to‘g‘ri teoremadan qanday farqi bor?
2. To‘g‘ri teoremaga teskari bo‘lgan teorema har doim ham o‘rinli bo‘ladimi?
3. To‘g‘ri teoremani isbotlab, unga teskari teoremani isbotsiz qabul qilsa bo‘ladimi?
4. Berilgan teoremaga teskari teoremaga teskari bo‘lgan teorema nima bo‘ladi?
5. Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan almashinuvchi, mos va bir tomonli
burchaklar haqida nima deyish mumkin?
?
?
?
?
Amaliy mashq va tatbiq
1.
Quyidagi tasdiqlarga teskari bo‘lgan tasdiqlarni tuzing, ularni to‘g‘ri bo‘lish yoki
bo‘lmasligini aniqlang:
•
Agar son tub son bo‘lsa, u natural son bo‘ladi.
•
Agar son 9 ga bo‘linsa, u 3 ga ham bo‘linadi.
•
Agar uchburchaklar teng bo‘lsa, ularning mos burchaklari ham teng bo‘ladi.
•
Agar o‘quvchining harorati yuqori bo‘lsa, u kasal bo‘lib qolgan bo‘ladi.
•
Agar futbolchi qizil kartochka olsa, o‘yindan chiqib ketadi.
•
Agar uchburchakning tomonlari 3, 4 va 5 ga teng bo‘lsa, uning perimetri 12 ga teng
bo‘ladi.
•
Agar avtomobilning benzini bo‘lmasa, u yurmaydi.
2.
Quyidagi teoremalarga teskari teoremalarni tuzing va ularning to‘g‘riligini tek shiring:
•
Agar ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi bilan kesishishidan hosil bo‘lgan mos burchaklar
teng bo‘lsa, u holda bu to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi.
•
Agar ikki to‘g‘ri chiziq uchinchi to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lsa, ular parallel bo‘ladi.
•
Agar uchburchak teng tomonli bo‘lsa, uning barcha burchaklari o‘zaro teng bo‘ladi.
112
11
A
B
C
O
D
12
A
C
B
D
13
a
b
135°
3
x
A
B
C
D
O
10
a
b
1
2
4 3
5 6
8
7
9
14
a
b
147°
3
x
3.
Uchburchaklarning tenglik alomatlariga teskari teo-
remalarni tuzing. Ular to‘g‘rimi?
4.
9-rasmda
a||b
,
∠
1=135°. Qolgan burchaklarni
toping.
5.
9-rasmda
a||b
,
∠
2=49°. Qolgan burchaklarni toping.
6.
10-rasmda
BC||AD
,
AO=OB
ekanligi ma’lum.
a)
DO=OC
; b)
∆AOD=∆COB
tengliklarni
isbotlang.
7.
11-rasmda
BC||AD
,
AO=OD
ekanligi ma’lum.
a)
BO=OC
; b)
AC=BD
; c)
∆AOB=∆COD
;
d)
∆ABD=∆ACD
tengliklarni isbotlang.
8.
12-rasmda
BC||AD
va
AB||CD
bo‘lsa,
∆ABD=∆CDB
ekanini isbotlang.
9.
13-rasmda
a||b
bo‘lsa
,
x
ni toping.
10.
14-rasmda
a||b
bo‘lsa
,
x
ni toping.
11*
.
ABC
va
A
1
B
1
C
1
o‘tkir burchaklar berilgan. Agar
AB||A
1
B
1
va
BC||B
1
C
1
bo‘lsa,
∠
ABC
=
∠
A
1
B
1
C
1
bo‘lishini isbotlang.
12*.
Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotgan
burchaklardan biri o‘tkir, ikkinchisi esa o‘tmas. Bu
burchaklar yig‘indisi 180° ga teng bo‘lishini isbot
-
lang.
Eslatma
.
12–13-masalalarda keltirilgan teoremalar
“mos tomonlari parallel bo‘lgan burchaklarning
xossalari” deb yuritiladi.
13.
Agar 15-rasmda
a||b, c||d
va
∠
1 = 55° bo‘lsa,
∠
2 va
∠
3 ni toping.
14.
Agar 15-rasmda
a||b, c||d
va
∠
3 = 73° bo‘lsa,
∠
1 va
∠
2 ni toping.
15*.
Mos tomonlari parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotgan
burchaklar ayirmasi 40° ga teng. Bu burchaklarni
toping.
16*
.
ABC
o‘tkir va
A
1
B
1
C
1
o‘tmas burchaklar berilgan.
Agar
AB
⊥
A
1
B
1
va
BC
⊥
B
1
C
1
bo‘lsa,
∠
ABC
+
A
1
B
1
C
1
= 180° bo‘lishini isbotlang.
17*.
Mos tomonlari perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlarda
yotgan burchaklardan biri o‘tkir, ikkinchisi esa
o‘tmas. Bu burchaklar yig‘indisi 180° ga teng bo‘lis
-
hini isbotlang.
Eslatma.
17–18-masalalarda keltirilgan teoremalar
“mos tomonlari o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan bur
-
chaklarning xossalari” deb yuritiladi.
113
15
b
1
2
3
d
c
a
16
D
C
11x
7x
B
A
17
a
b
135°
x
45°
75°
18
a
b
145°
x
75°
105°
19
A
O
147°
78°
155°
C
B
D
20
A
O
70°
28°
x
C
B
D
18*.
16-rasmdagi
ABC
va
ADC
burchaklarning mos
tomonlari perpendikulyar. Noma’lum burchaklarni
toping.
19.
ABC
burchak 118° ga teng.
BCD
burchak esa
62° ga teng.
AB
va
CD
to‘g‘ri chiziqlar a) parallel
bo‘lishi; b) kesishishi mumkinmi?
20.
ABC
burchak 53° ga teng.
BCD
burchak ham
53° ga teng.
AB
va
CD
to‘g‘ri chiziqlar a) parallel
bo‘lishi; b) kesishishi mumkinmi?
21*.
101-betda keltirilgan Sakkeri to‘rtburchagining
to‘g‘ri to‘rtburchak ekanini isbotlang.
22.
17-rasmdagi
x
burchaklarni toping.
23.
18-rasmdagi
x
burchaklarni toping.
24*.
Ikki parallel to‘g‘ri chiziqlarni kesuvchi kesib
o‘tganda hosil bo‘lgan bir tomonli burchaklarning
bittasi boshqasidan 24° ga katta bo‘lsa, qolgan
burchaklarni toping.
25*
.
Ikki parallel to‘g‘ri chiziqlarni kesuvchi kesib
o‘tganda hosil bo‘lgan mos burchaklarning yig‘indisi
128° ga teng bo‘lsa, qolgan burchaklarni toping.
26*.
19-rasmda
AB
va
CD
to‘g‘ri chiziqlar parallel
bo‘ladimi?
27*
.
20-rasmda
AB
va
CD
to‘g‘ri chiziqlar parallel
bo‘lishi uchun
x
nimaga teng bo‘lishi kerak?
28*.
Ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi kesib o‘tganda hosil
bo‘lgan burchaklarning beshtasi o‘tkir bo‘lmasa,
ularning barchasini toping.
29*.
Ikki to‘g‘ri chiziqni kesuvchi kesib o‘tganda hosil
bo‘lgan burchaklarning oltitasi yig‘indisi 620° ga
teng bo‘lsa, ularning barchasini toping.
30*.
Asosi
AC
kesma bo‘lgan
ABC
teng yonli
uchburchak berilgan.
AC
tomonga parallel bo‘lgan
to‘g‘ri chiziq
AB
tomonni
A
1
va
BC
tomonni
C
1
nuqtada kesib o‘tadi.
A
1
BC
1
uchburchak teng yonli
ekanini isbotlang.
31.
ABC
burchak 98° ga teng. Uning
A
va
C
nuqtalaridan o‘tib, tomonlariga parallel bo‘lgan
to‘g‘ri chiziqlar
D
nuqtada kesishadi.
ADC
burchakni toping.
114
17.1. Kichik guruhlarda amaliy mashq
1
1 2
3
4
5 6
7
8
15 16
13
14
9 12
11
10
a
b
c
d
1-rasmda
a b, c||d
to‘g‘ri chiziqlar berilgan.
To‘rtta kichik guruh tuziladi va:
1-guruhga
∠
1 ,
∠
2,
∠
3 va
∠
4;
2-guruhga
∠
5,
∠
6,
∠
7 va
∠
8;
3-guruhga
∠
9,
∠
10,
∠
11 va
∠
12;
4-guruhga
∠
13,
∠
14,
∠
15 va
∠
16 lar taqsim
-
lab beriladi. Guruhlar navbati bilan o‘z burchaklari
kattaliklarini e’lon qiladi. Qolgan guruhlar bu bur-
chaklarga mos o‘z burchaklari kattaliklarini aniqlab
aytadi.
17.2. Amaliy tatbiq
1.
Zinapoyaning poygaklari gorizontal bo‘lishi
kerak
(2-rasm)
. Shundan kelib chiqib, zinapoya
tasvirida belgilangan burchaklar orasida qanday
munosabatlar bajarilishini aniqlang va geometri
-
yadan o‘rgangan bilimlaringiz asosida izohlang.
|
