?
?
?
?
Faollashtiruvchi mashq
15
IKKI TO‘G‘RI CHIZIQNING PARALLELLIK ALOMATLARI
106
5
b
a
2
1
∠
1 =
∠
2
⇒
a
||
b
6
b
a
2
1
∠
1 +
∠
2 = 180°
⇒
a
||
b
4
1
a
b
c
2
4 3
5 6
8 7
∠
3 =
∠
4 ekanligidan
D
nuqta
CO
nurning davomida
yotishi, ya’ni
C
,
O
va
D
nuqtalar bitta to‘g‘ri chiziqda
yotishi kelib chiqadi.
∠
5 =
∠
6 ekanligidan
∠
6 ham
∠
5 kabi to‘g‘ri bur-
chak ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib,
a
va
b
to‘g‘ri
chiziqlar bitta
CD
to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ekan.
Demak, ular o‘zaro parallel bo‘ladi.
Teorema isbotlandi.
Masala.
Agar 4-rasmda
∠
2= 55° va
∠
5 =125°
bo‘lsa,
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘ladimi?
Yechish.
∠
2 va
∠
4 vertikal burchaklar bo‘lgani
uchun
∠
4 =
∠
2 = 55°.
∠
5 va
∠
6 qo‘shni bo‘lgani uchun
∠
6 =180°–
∠
5=180°–125°= 55°. Natijada, almashinuv-
chi burchaklar o‘zaro teng ekanini aniqlaymiz:
∠
4=
∠
6.
Demak, yuqorida isbotlangan ikki to‘g‘ri chiziqning
parallellik alomatiga ko‘ra,
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar parallel
bo‘ladi.
Javob:
Ha.
Teoremadan to‘g‘ridan to‘g‘ri kelib chiqadigan xossa
natija
deyiladi. Oldingi mavzuda
(102-betda)
keltirilgan
1-, 2- va 3-xossalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1natija.
Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil
qilgan mos burchaklar teng bo‘lsa, u holda bu ikki
to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi
(5-rasm).
2natija.
Agar ikki to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil
qilgan bir tomonli burchaklar yig‘indisi 180° ga teng
bo‘lsa, u holda bu ikki to‘g‘ri chiziq parallel bo‘ladi
(6-rasm).
Masala.
7-rasmdagi to‘g‘ri chiziqlarning qaysilari
parallel?
Yechilishi.
Vertikal burchaklar tengligidan
∠
1 =105°,
∠
2 = 125°,
∠
3 = 115°.
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar parallel
emas, chunki
∠
1 + 65° = 105° + 65°
≠
180°.
a||d
bo‘ladi, chunki
∠
1 + 75° = 105° + 75° = 180°
(2-natijaga qarang).
Xuddi shunday
b||e
bo‘ladi, chunki
65°+
∠
3 = 65°+115° = 180°.
a, c
va
e
to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel emas, chunki
ularning mos burchaklari teng emas (1-natijaga qarang).
Xuddi shunday
b
va
d
to‘g‘ri chiziqlar ham parallel
emas, chunki mos burchaklar teng emas: 65°
≠
75°.
Javob:
a||d, b||e.
7
105°
65°
125°
75°
115°
a
b
c
d
e
1
2
3
107
11
a
b
65°
65°
10
a
b
60°
60°
9
50°
30°
a)
b)
x
x
a
a
b
b
8
a
b
36°
x
α
4
x
Masala.
8-rasmda
a||b
bo‘ladimi?
Yechish.
Vertikal burchaklarning xossasiga ko‘ra
x
=36°. Unda
α
= 4
x
= 4
⋅
36°=144° bo‘ladi. Bir tomonli
burchaklar yig‘indisi
x
+
α
=36°+144°=180°.
Demak, 2-natijaga ko‘ra
a||b
bo‘ladi.
1. Ikki to‘g‘ri chiziqning parallelligini qanday aniqlash
mumkin?
2. Alomat deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.
3. Ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlarini izohlang.
4. Natija deb nimaga aytiladi? Misol keltiring.
?
?
?
?
Mavzuga doir savollar
a
b
12
70°
110°
?
?
?
?
Amaliy mashq va tatbiq
13
B
A
D
C
114°
66°
65°
1.
9-rasmda
a
va
b
to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lishi uchun
noma’lum burchak necha gradus bo‘lishi kerak?
2.
10-rasmda
a||b
bo‘lishini ko‘rsating.
3.
10-rasmda keltirilgan masalaga o‘xshash masala tuzing
va uni yeching.
4.
11-rasmda
a||b
bo‘lishini ko‘rsating.
5.
12-rasmda
a||b
bo‘lishini ko‘rsating.
6.
11–12-rasmlarda keltirilgan masalalarga o‘xshash ma
-
sala tuzing va uni yeching.
7.
Agar 1-rasmda: a)
∠
1=132°,
∠
8 = 48°; b)
∠
2 = 36°,
∠
5 =144° bo‘lsa,
a||b
bo‘ladimi?
8.
Agar 1-rasmda: a)
∠
3 =113°,
∠
6 =77°; b)
∠
1 +
∠
7=180°
bo‘lsa,
a||b
bo‘ladimi?
9*.
13-rasmdagi to‘rtburchakning qaysi tomonlari parallel
bo‘ladi?
10*.
a
to‘g‘ri chiziq va unda yotmagan
K
nuqta berilgan.
K
nuqta orqali to‘rtta to‘g‘ri chiziq o‘tkazildi. Bu to‘g‘ri
chiziqlardan nechtasi
a
to‘g‘ri chiziq bilan kesishadi?
11
.
Agar 14-rasmda: a)
∠
3=
∠
4,
BD=CE
,
AB=EF
;
b)
∠
1=
∠
2,
∠
3=
∠
4,
BD=CE
; c)
AB=EF, BD=EC
,
AC=FD
bo‘lsa,
∆ABC=∆EFD
ekanini ko‘rsating
.
12.
Ikki to‘g‘ri chiziqning kesuvchi bilan kesishishidan hosil
bo‘lgan burchaklardan biri: a) 32° va unga mos bo‘lgan
burchak esa 33° ga; b) 47° va unga mos bir tomonli
bo‘lgan burchak esa 133° ga teng bo‘lsa, bu to‘g‘ri chi
-
ziqlar parallel bo‘ladimi?
108
13.
15-rasmdagi noma’lum burchakni toping.
14.
Agar 16-rasmda
∠
1=
∠
5=105° bo‘lsa, qolgan bur-
chaklarni toping.
15.
Agar 17-rasmda
∠
3=60°,
∠
8=120° bo‘lsa, qolgan
burchaklarni toping.
16*.
a
va
b
parallel to‘g‘ri chiziqlarni
c
to‘g‘ri chiziq bilan
kesishdan hosil bo‘lgan almashinuvchi burchaklarning
bissektrisalari parallel ekanini ko‘rsating
(18-rasm)
.
17.
19-rasmlardagi parallel to‘g‘ri chiziqlarni aniqlang.
18.
20-rasmlardagi parallel to‘g‘ri chiziqlarni aniqlang.
19.
21-rasmlardagi parallel to‘g‘ri chiziqlarni aniqlang.
20*.
To‘g‘ri chiziqlarning parallellik alomatlariga doir ma
-
salalar tuzing va ularni yeching
16
2
1
3
4
6
5
7
8
2
1
3
4
6
5
7
8
a
b
c
l
1
l
2
18
15
B
A
D
C
116°
64°
x
64°
14
A
B
C
D
E
F
1
2
4
3
19
17
20
21
A
A
A
A
O
D
A
B
B
B
B
B
C
C
C
C
C
1
C
1
C
1
A
1
A
1
A
1
B
1
B
1
C
D
D
D
A
B
C
D
A
A
A
B
B
B
C
C
C
O
D D
D
A
B
C
109
16.1. Teskari teorema
Qisqacha:
A
⇒
B.
Qisqacha:
B
⇒
A.
Agar teoremaning sharti va xulosalarining o‘rni almashtirilsa, yangi tasdiq hosil bo‘ladi.
Agar bu tasdiq ham to‘g‘ri bo‘lsa (ya’ni uni isbotlab bo‘lsa), u berilgan teoremaga
teskari
teorema
deb ataladi. Berilgan teorema esa
to‘g‘ri teorema
deb ham yuritiladi.
Misol.
“
Agar uchburchak teng yonli bo‘lsa, uning asosidagi burchaklari teng bo‘ladi
”
degan teoremaga teskari teorema quyidagidan iborat: “
Agar uchburchakning ikkita
burchagi teng bo‘lsa, u teng yonli uchburchak bo‘ladi
”.
1-mashq.
Yuqorida keltirilgan teskari teorema “uchburchakning teng yonli bo‘lish
alomati” deb yuritiladi. Uning to‘g‘riligini mustaqil isbotlang.
Berilgan to‘g‘ri teoremaga teskari bo‘lgan tasdiq har doim ham o‘rinli bo‘lavermasligini
aytib o‘tish kerak.
Masalan, “Agar burchaklar vertikal bo‘lsa, ular teng bo‘ladi” degan teoremaga teskari
“Agar burchaklar teng bo‘lsa, ular vertikal bo‘ladi” degan tasdiq to‘g‘ri emas.
Agar to‘g‘ri va teskari teoremaning har ikkisi ham to‘g‘ri bo‘lsa, bu tasdiqlar
o‘zaro teng
kuchli
deb ataladi. Bu qisqacha
⇒ ⇒
A
B
tarzda yoziladi.
2-mashq.
1.
“Agar yomg‘ir yog‘sa, osmonda bulut bo‘ladi” degan tasdiqqa teskari tasdiqni tuzing.
Hosil bolgan teskari tasdiqning har doim ham to‘g‘ri bo‘lish yoki bo‘lmasligini izohlang.
2.
Quyidagi to‘g‘ri teoremalarga teskari teoremalarni yozib chiqing. Har bir teskari teo
-
remada ifodalangan tasdiqlarning to‘g‘ri yoki noto‘g‘riligini tekshiring.
•
Bir to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro kesishmaydi.
•
Agar ikki uchburchak teng bo‘lsa, ularning mos tomonlari teng bo‘ladi.
•
Agar qo‘shni burchaklar o‘zaro teng bo‘lsa, ular to‘g‘ri burchak bo‘ladi.
•
Bir to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘lgan ikki to‘g‘ri chiziq paralleldir.
3.
O‘zaro teng kuchli tasdiqlarga misollar keltiring.
To‘g‘ri teorema:
Teskari teorema:
Agar
o‘rinli
bo‘lsa,
o‘rinli
bo‘ladi.
A jumla
B jumla
Agar
o‘rinli
bo‘lsa,
o‘rinli
bo‘ladi.
B jumla
A jumla
16
IKKI PARALLEL TO‘G‘RI CHIZIQ VA
KESUVCHI HOSIL QILGAN BURCHAKLAR
110
16.2. Ikki parallel to‘g‘ri chiziq va kesuvchi hosil qilgan burchaklar
Quyida ikki to‘g‘ri chiziqning parallellik alomatlariga teskari bo‘lgan teoremalar ustida
to‘xtalamiz.
|
