|
Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyaning ekstremumga
|
| bet | 2/8 | | Sana | 17.01.2024 | | Hajmi | 91,98 Kb. | | #139762 |
Bog'liq jasur matrmatika1. Birinchi tartibli hosila yordamida funksiyaning ekstremumga
tekshirish, funksiyaning ekstremumlari.
Aytaylik f(x) funksiya (a,b) intervalda aniqlangan va x0(a;b) bo„lsin.
1-ta’rif. Agar x0 nuqtaning shunday (x0-
;x0+) atrofi mavjud bo„lib, shu atrofdan
olingan ixtiyoriy x uchun f(x)f(x0) ( f(x)f(x0)
) tenglik o„rinli bo„lsa, u holda x0 nuqta f(x)
funksiyaning maksimum ( minimum )
nuqtasi, f(x0) esa funksiyaning maksimumi (
minimumi ) deb ataladi.
2-ta’rif. Agar x0 nuqtaning shunday
1-chizma
atrofi (x0-;x0+) mavjud bo„lib, shu atrofdan olingan ixtiyoriy xx0 uchun
f(x)( f(x)>f(x0) ) tengsizlik o„rinli bo„lsa, u holda f(x) funksiya x0 nuqtada
qat‟iy maksimumga ( minimumga ) ega deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning nuqtalari,
maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning lari deb ataladi.
Shunday qilib, agar f(x0) maksimum (minimum) bo„lsa, u holda f(x0)
funksiyaning x0 nuqtaning kichik atrofida qabul qiladigan qiymatlarning eng kattasi
(eng kichigi) bo„ladi, ya‟ni funksiya i lokal harakterga ega. Bundan funksiya i u
aniqlangan sohada eng katta yoki eng kichik qiymati bo„lishi shart emasligi kelib
chiqadi.
Shuningdek, f(x) funksiya (a,b) intervalda bir qancha maksimum va
minimumlarga ega bo„lishi, maksimum qiymati uning ba‟zi bir minimum qiymatidan
kichik bo„lishi ham mumkin. Masalan grafigi 1–chizmada ko„rsatilgan y=f(x)
funksiya uchun x=a nuqtada lokal maksimum, x=b nuqtada lokal minimum mavjud
bo„lib, f(a)tengsizlik o„rinli.
2. Ekstremumning zaruriy sharti.
Funksiya hosilalari yordamida uning nuqtalarini topish osonlashadi. Avval
ning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
Teorema. Agar f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz, shu nuqtada ga ega bo„lsa, u
holda bu nuqtada f(x) funksiyaning hosilasi nolga teng yoki mavjud emas.
Isboti. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada maksimumga ega bo„lsin. U
holda x0 nuqtaning shunday (x0-; x0+) atrofi mavjud bo„lib, bu atrofdan olingan x
uchun f(x0)>f(x) bo„ladi. Agar x>x0 bo„lsa, u holda
0
0
x x
f ( x ) f ( x )
<0 tengsizlik,
agar xbo„lsa, u holda
0
0
x x
f ( x ) f ( x )
>0 tengsizlik o„rinli bo„lishi ravshan.
Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning xx0 da limiti mavjud bo„lsa, u
holda
xx00
lim
0
0
x x
f ( x ) f ( x )
=f’(x0+0)0,
xx00
lim
0
0
x x
f ( x ) f ( x )
=f’(x0-0)0 bo„ladi.
Agar funksiyaning chap f’(x0-0) va o„ng f’(x0+0) hosilalari nolga teng bo„lsa, u
holda funksiya hosilasi f’(x0) mavjud va nolga teng bo„ladi.
Agar f’(x0-0) va f’(x0+0) lar noldan farqli bo„lsa, ravshanki f’(x0+0)
bo„lib, f’(x0) mavjud bo„lmaydi.
Funksiya x0 nuqtada minimumga ega
bo„lgan hol ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Teorema isbot bo„ldi.
|
| |
