|
Ikkinchi tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshirish
|
| bet | 4/8 | | Sana | 17.01.2024 | | Hajmi | 91,98 Kb. | | #139762 |
Bog'liq jasur matrmatika4. Ikkinchi tartibli hosila yordamida ekstremumga tekshirish.
Teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya x0 nuqtada birinchi va ikkinchi tartibli
hosilalarga ega va f’(x0)=0 bo„lsin. U holda agar f’’(x0)<0 bo„lsa, u holda x0 nuqta
f(x) funksiyaning maksimum nuqtasi, agar f’’(x0)>0 bo„lsa, minimum nuqtasi bo„ladi.
Isbot. f(x) funksiya x0 nuqtada birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarga ega va
f’(x0)=0, f’’(x0)<0 bo„lsin. Demak, x0
kritik nuqtada f’(x) kamayuvchi, ya‟ni
xx0-;x0) lar uchun f’(x)>f’(x0)=0 va
x(x0; x0 +) uchun 0=f’(x0)>f’(x)
bo„ladi. Bu esa x0 nuqtadan o„tishda
hosila o„z ishorasini «+» dan «-» ga
o„zgartirishini, demak, x0 maksimum
nuqta ekanligini bildiradi.
3-chizma
f’’(x0)>0 bo„lgan holda x0 ning minimum nuqta bo„lishi shunga o„xshash
isbotlanadi.
Isbotlangan teoremaga asoslanib, ikkinchi tartibli hosila yordamida funksiyani
ga tekshirishning quyidagi qoidasini keltiramiz.
2-qoida. f(x) funksiyaning ga tekshirish uchun
1) f’(x)=0 tenglamaning barcha yechimlarini topamiz;
2) har bir statsionar nuqtada (ya‟ni hosilani nolga aylantiradigan nuqtada) f’’(x0) ni
hisoblaymiz. Agar f’’(x0)<0 bo„lsa, x0 maksimum nuqtasi, f’’(x0)>0 bo„lsa, x0
minimum nuqtasi bo„ladi.
3) nuqtalar qiymatini y=f(x) qo„yib, f(x) ning qiymatlarini topamiz.
Umuman aytganda, bu qoidaning qo„llanish doirasi torroq masalan, u chekli
birinchi tartibli hosila mavjud bo„lmagan nuqtalarga qo„llanila olmasligi o„z-o„zidan
ravshan. Ikkinchi tartibli hosila nolga aylangan yoki mavjud bo„lmagan nuqtada
ham qoida aniq natija bermaydi.
Misol. Ikkinchi tartibli hosila yordamida y=2sinx+cos2x funksiya larini
aniqlang.
Yechish. Funksiya davriy bo„lganligi sababli [0;2] kesma bilan
cheklanishimiz mumkin. Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini
topamiz:
y’=2cosx-2sin2x=2cosx(1-2sinx); y’’=-2sinx-4cos2x.
Ushbu 2cosx(1-2sinx)=0 tenglamadan funksiyaning [0;2]
kesmaga tegishli bo„lgan kritik nuqtalarini topamiz: x1=/6; x2=/2; x3=5/6;
x4=3/2. Endi har bir kritik nuqtada ikkinchi tartibli hosila ishorasini aniqlaymiz va
tegishli xulosa chiqaramiz:
y’’(/6)=-3<0, demak x1=/6 nuqtada y(/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(/2)=2>0, demak x2=/2 nuqtada y(/2)=1 minimum mavjud.
y’’(5/6)=-3<0, demak x3=5/6 nuqtada y(5/6)=3/2 maksimum mavjud.
y’’(3/2)=6>0, demak x4=3/2 nuqtada y(3/2)=-3 minimum mavjud.
Bu funksiyaning (-2;2) intervaldagi grafigi 3-chizmada keltirilgan.
|
| |
