|
Funksiyaning o„sishi va kamayishi
|
| bet | 5/8 | | Sana | 17.01.2024 | | Hajmi | 91,98 Kb. | | #139762 |
Bog'liq jasur matrmatikaBu sahifa navigatsiya:
- Isbot
Funksiyaning o„sishi va kamayishi.
Biz bu yerda funksiya hosilasi yordamida funksiyaning
monotonligini aniqlash mumkinligini ko„rsatamiz.
2-teorema. Faraz qilaylik f(x) funksiya (a;b) intervalda aniqlangan,
uzluksiz va differensiallanuvchi bo„lsin. Bu funksiya (a;b) intervalda
kamaymaydigan (o„smaydigan) bo„lishi uchun f’(x)0 (f’(x)0)
tengsizlikning o„rinli bo„lishi zarur va yetarli.
Isbot. Kamaymaydigan funksiya holini qaraymiz.
Zaruriyligi. f(x) funksiya (a;b) intervalda kamaymaydigan bo„lsin. U
holda x(a;b) va x>0 uchun y=f(x+x)-f(x)0 tengsizlik o„rinli
bo„ladi. Bundan esa
x
y
0 bo„lishi ravshan. Teorema shartiga ko„ra f(x)
differensiallanuvchi, demak
x
y
nisbatning x0 da chekli limiti mavjud,
tengsizlikda limitga o„tish haqidagi teoremaga ko„ra, bu limit nomanfiy
bo„ladi, ya‟ni
0
lim
x
y
=f’(x)0.
Yetarliligi. x(a;b) uchun f’(x)0 bo„lsin. Endi x1bo„lgan
x1,x2(a;b) nuqtalarni olaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya [x1;x2]
kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak,
(x1;x2) intervalga tegishli shunday c nuqta topilib,
f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1) (2)
tenglik o„rinli bo„ladi. Teorema shartiga f’(x)0, bundan f’(c)0, va (2)
tenglikdan f(x2)-f(x1)0, ya‟ni f(x2)f(x1) ekanligi kelib chiqadi. Bu
esa funksiyaning (a;b) intervalda kamaymaydigan funksiyaligini
ko„rsatadi.
O„smaydigan funksiya holi ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Endi funksiyaning qat‟iy monoton
bo„lishining yetarli shartini isbotlaymiz.
3-teorema. Agar f(x) funksiya (a,b)
intervalda differensiallanuvchi va
x(a;b) uchun f’(x)>0 (f(x)<0 ) bo„lsa,
u holda f(x) funksiya (a,b) intervalda
qat‟iy o„suvchi (kamayuvchi ) bo„ladi.
Isboti. Aytaylik x1,x2(a;b) va x1
4- chizma
bo„lsin. Ravshanki, [x1;x2] kesmada f(x) funksiya Lagranj teoremasining
barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu teoremaga binoan shunday c(x1;x2)
mavjudki
f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)
tenglik o„rinli bo„ladi. Bu tenglik va f’(c)>0 (f’(c)<0 ) ekanligidan
f(x2)>f(x1) (f(x2)) bo„lishi kelib chiqadi. Bu f(x) funksiyaning qat‟iy
o„suvchi (kamayuvchi) bo„lishini ifodalaydi. Ushbu y=x3 funksiya (-1;1)
intervalda qat‟iy o„suvchi, lekin uning hosilasi x=0 nuqtada nolga teng
bo„ladi.
Shunga o„xshash f(x)=x+cosx funksiya ham aniqlanish sohasida
qat‟iy o„suvchi, ammo uning hosilasi f’(x)=1-sinx cheksiz ko„p nuqtalarda
( x n, nZ,
2
2
) nolga teng bo„ladi. (4-chizma)
Bu misollar yuqoridagi teoremaning shartlari funksiyaning qat‟iy
o„suvchi (kamayuvchi) bo„lishi uchun faqat yetarli shart ekanligini
ko„rsatadi.
|
| |
